1. Với a > 0 và b > 0, chứng minh \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
giúp mjk nha m.n!! thks m.n nhìu
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
WR
9 tháng 7 2017
áp dụng bđt cauchy:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}.\)
Tượng tự \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}},\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{2}{\sqrt{xz}}.\)
=>2VT>=2Vp
<=>VT>=VP
dấu = xảy ra khi x=y=z
TN
9 tháng 7 2017
By AM-GM we have:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}};\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}};\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xz}}\)
Cộng theo vế rồi rút gọn là có ĐPCM
Xảy ra khi x=y=z
18 tháng 7 2017
\(=\frac{1}{\sqrt{x}\left(x\sqrt{x}-1\right)}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x^3}-1\right)}.\frac{\sqrt{x}\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\sqrt{x}\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{1}{x-1}\)
VT
25 tháng 7 2018
Đặt \(b=a+\frac{2}{a}\Rightarrow b^2=a^2+4+\frac{4}{a^2}\Rightarrow a^2+\frac{4}{a^2}=b^2-4.\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\left(b^2-4\right)^2-8b^2+48}\)
\(=\sqrt{b^4-16b^2+64}\)
\(=\sqrt{\left(b^2-8\right)^2}=\left|b^2-8\right|\)
\(=\left|a^2+\frac{4}{a^2}-4\right|=\left|\left(a-\frac{2}{a}\right)^2\right|=\left(a-\frac{2}{a}\right)^2\)
29 tháng 8 2017
\(\sqrt{3\sqrt{2}}=\sqrt{\sqrt{3^2\cdot2}}=\sqrt{\sqrt{18}}\)
\(\sqrt{2\sqrt{3}}=\sqrt{\sqrt{2^2\cdot3}}=\sqrt{\sqrt{12}}\)
từ trên ta suy ra
\(\sqrt{3\sqrt{2}}>\sqrt{2\sqrt{3}}\)
VN
1
11 tháng 7 2016
\(\sqrt{a+b}^2=a+b\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+2\sqrt{ab}+b>a+b\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}^2< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\Rightarrow\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
=>đpcm
Vì a > 0 và b > 0 ta đc:
Đặt \(A=\sqrt{a+b}\)
\(A^2=a+b\)
\(B=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(B^2=a+b+2\sqrt{ab}\)
Vì \(a+b< a+b+2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\left(đpcm\right)\)
Vì a và b đều >0. Ta được:
Đặt A = \(\sqrt{a+b}\)
A2 = \(a+b\)
B = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
B2 = \(a+b+2\sqrt{ab}\)
Vì a + b < a + b + \(2\sqrt{ab}\)
Nên \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\) (đpcm)