chứng minh mọi, a,b, c, ta có :
\(^{a^2+b^2+c^2}\)>= \(ab+bc+ac\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
25 tháng 7 2016
Ta sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương như sau :
Ta có ; \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được cm.
NN
0
NT
2
VL
30 tháng 3 2015
nhân 2 vào 2 vế rồi chuyển vế sau đó khai triển ta được (a-b)(b-c)(c-a) >=0
luôn đúng với mọi a;b;c
suy ra ĐPCM
30 tháng 3 2015
ta có \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\)\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow\)\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(\(\Rightarrow\)a=b=c)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
Y
0
5 tháng 1 2021
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3
Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có....
5 tháng 1 2021
.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3
Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có
ta áp dụng cô-si la ra
a2+b2+c2 ≥ ab+ac+bc
̣̣(a - b)2 ≥ 0 => a2 + b2 ≥ 2ab (1)
(b - c)2 ≥ 0 => b2 + c2 ≥ 2bc (2)
(a - c)2 ≥ 0 => a2 + c2 ≥ 2ac (3)
cộng (1) (2) (3) theo vế:
2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab+ac+bc)
=> a2 + b2 + c2 ≥ ab+ac+bc
dấu = khi : a = b = c
Ta có : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0..\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0..\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)\)