cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z=9 Tìm max A=xy/x+y + yz/y+z + zx/z+x
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 7 2017
1, A= y^3(1-y)^2 = 4/9 . y^3 . 9/4 (1-y)^2
= 4/9 .y.y.y . (3/2-3/2.y)^2
=4/9 .y.y.y (3/2-3/2.y)(3/2-3/2.y)
<= 4/9 (y+y+y+3/2-3/2.y+3/2-3/2.y)^5
=4/9 . 243/3125
=108/3125
Đến đó tự giải
23 tháng 1 2023
\(xy+yz+zx=8xyz\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=8\)
\(\Rightarrow\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}=64\)
Ta có: \(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}\)
\(=\left(\dfrac{1}{x}+...+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\left(\dfrac{1}{y}+...+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)+\left(\dfrac{1}{z}+...+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
(sau dấu chấm là bốn số tương tự).
\(\ge^{Cauchy-Schwarz}\dfrac{8^2}{6x+y+z}+\dfrac{8^2}{6y+z+x}+\dfrac{8^2}{6z+x+y}\)
\(\Rightarrow64\ge\dfrac{8^2}{6x+y+z}+\dfrac{8^2}{6y+z+x}+\dfrac{8^2}{6z+x+y}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{6x+y+z}+\dfrac{1}{6y+z+x}+\dfrac{1}{6z+x+y}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{8}\)
Vậy \(Max\) của biểu thức đã cho là 1.
LM
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 12 2021
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn có 2 số cùng phía so với \(\dfrac{1}{2}\)
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là y và z
\(\Rightarrow\left(y-\dfrac{1}{2}\right)\left(z-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\Leftrightarrow yz-\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)+\dfrac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow y+z-yz\le\dfrac{1}{2}+yz\)
Mặt khác từ giả thiết:
\(1-x^2=y^2+z^2+2xyz\ge2yz+2xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1+x\right)\ge2yz\left(1+x\right)\)
\(\Leftrightarrow1-x\ge2yz\)
\(\Rightarrow yz\le\dfrac{1-x}{2}\)
Do đó:
\(A=yz+x\left(y+z-yz\right)\le yz+x\left(\dfrac{1}{2}+yz\right)=\dfrac{1}{2}x+yz\left(x+1\right)\le\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1-x}{2}\right)\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow A\le-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{8}\le\dfrac{5}{8}\)
\(A_{max}=\dfrac{5}{8}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
20 tháng 11 2021
\(\dfrac{xy}{x+y}=\dfrac{yz}{y+z}=\dfrac{zx}{z+x}\\ \Rightarrow\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{z+x}{zx}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}\\ \Rightarrow x=y=z\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{x^2+x^2+x^2}{x^2+x^2+x^2}=1\)
TN
0
nếu khó nhìn để mik đánh lại