Question

[Quốc Việt Nguyễn]

Cho tam giác ABC có \(\widehat{B}\) = 2C, các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Chọn câu đúng:

AC = AB + IA 
AC = AB + IC 
AC = BC + IB

AC = AB + IB 

Ghi lời giải chi tiết hộ mình với ạ!

Answer 1

[Nguyễn Hải Phong]

Bước 1: Phân tích đề bài

• Gọi \(\angle C = x\), nên \(\angle B = 2 x\).
• \(\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 3 x\).

---

Bước 2: Định lý sin trong tam giác \(A B C\):

\(\frac{A B}{sin ⁡ C} = \frac{B C}{sin ⁡ A} = \frac{A C}{sin ⁡ B} = 2 R ,\)

với \(R\) bán kính đường tròn ngoại tiếp.

---

Bước 3: Định nghĩa \(I\)

• \(I\) là giao điểm hai đường phân giác của góc \(B\) và \(C\).
• Tính chất quan trọng:
  Đường phân giác góc \(B\) cắt cạnh \(A C\) tại điểm \(I_{B}\) sao cho:

\(\frac{A I_{B}}{I_{B} C} = \frac{A B}{B C} .\)

• Đường phân giác góc \(C\) cắt cạnh \(A B\) tại điểm \(I_{C}\) sao cho:

\(\frac{B I_{C}}{I_{C} A} = \frac{B C}{A C} .\)

Nhưng ở đây \(I\) là giao điểm của 2 đường phân giác \(B I\) và \(C I\).

---

Bước 4: Xác định vị trí \(I\) và các đoạn thẳng

• \(I\) nằm bên trong tam giác, trên 2 đường phân giác góc \(B\) và góc \(C\).
• Khi đó, \(I\) thuộc đoạn thẳng nối \(B\) với điểm phân giác trên \(A C\), và thuộc đoạn thẳng nối \(C\) với điểm phân giác trên \(A B\).

---

Bước 5: Đặt tỉ số cạnh từ định lý sin

Ta có:

\(\frac{A B}{B C} = \frac{sin ⁡ C}{sin ⁡ A} = \frac{sin ⁡ x}{sin ⁡ \left(\right. 180^{\circ} - 3 x \left.\right)} = \frac{sin ⁡ x}{sin ⁡ 3 x} .\)

---

Bước 6: Tính các đoạn liên quan

Vì \(I\) thuộc đường phân giác góc \(B\), nên nó chia cạnh \(A C\) theo tỉ lệ:

\(\frac{A I}{I C} = \frac{A B}{B C} .\)

Điều này cho phép viết:

\(A C = A I + I C = A I + \frac{A I \cdot B C}{A B} = A I \left(\right. 1 + \frac{B C}{A B} \left.\right) .\)

---

Bước 7: Tìm mối liên hệ giữa các đoạn

Tương tự, vì \(I\) nằm trên phân giác góc \(C\), nên:

\(\frac{B I}{I A} = \frac{B C}{A C} .\)

Vậy:

\(B I = \frac{B C}{A C} I A .\)

---

Bước 8: Kiểm tra các đáp án

Ta có các đoạn thẳng: \(I A\), \(I B\), \(I C\).

Chú ý:

• \(I A\) là đoạn nối \(I\) đến \(A\).
• \(I B\) là đoạn nối \(I\) đến \(B\).
• \(I C\) là đoạn nối \(I\) đến \(C\).

Đáp án cần tìm có dạng: \(A C = ?\).

Từ trên, ta thấy \(A C = A I + I C\).

Nhưng không có phương án nào là \(A C = A I + I C\), mà có \(A C = A B + I C\) hoặc \(A C = A B + I A\).

---

Bước 9: So sánh độ dài

Quan sát:

• \(A B\) và \(A I\) cùng nằm trên cạnh \(A B\), trong đó \(I\) thuộc đoạn phân giác góc \(C\), nên \(A I < A B\).
• \(I C\) thuộc cạnh \(A C\).
• \(I B\) thuộc cạnh \(B C\).

Trong các phương án, phương án duy nhất đúng và hợp lý là:

\(\boxed{A C = A B + I C} .\)

Answer 2

[Tran Phuc Giang Thi]

@ Phong, nếu bạn chép mạng thì vui lòng ghi thêm chữ "tham khảo" vào phần đầu bài nhé!