Question

[Nguyễn Duy Long]

Hãy chứng minh rằng ba đường phân giác của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm.

Answer 1

[Vũ Minh Quân]

chịu ròi! lớp 1 mà hỏi được câu đấy thì quá ảo !!!!!!

Answer 2

[Nguyễn Bảo Tùng]

Cho tam giác \(A B C\), chứng minh ba đường phân giác trong của tam giác \(A B C\) đồng quy tại một điểm.

---

Bước 1: Định nghĩa và ký hiệu

• Gọi \(A D\), \(B E\), \(C F\) lần lượt là các đường phân giác trong của tam giác \(A B C\).
• \(D \in B C\), \(E \in A C\), \(F \in A B\).
• Ta cần chứng minh rằng ba đường phân giác \(A D\), \(B E\), và \(C F\) đồng quy tại một điểm.

---

Bước 2: Chứng minh hai đường phân giác đồng quy

Trước tiên, ta chứng minh hai đường phân giác đồng quy tại một điểm, sau đó chứng minh đường phân giác thứ ba cũng đi qua điểm đó.

Chọn hai đường phân giác \(A D\) và \(B E\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(A D\) và \(B E\).

---

Bước 3: Tính chất đường phân giác

• Đường phân giác trong góc có tính chất: Điểm nằm trên đường phân giác của góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Cụ thể:

• \(I\) nằm trên phân giác \(A D\) nên \(I\) cách đều hai cạnh \(A B\) và \(A C\) của góc \(A\), tức là khoảng cách từ \(I\) đến \(A B\) bằng khoảng cách từ \(I\) đến \(A C\).
• \(I\) nằm trên phân giác \(B E\) nên \(I\) cách đều hai cạnh \(B C\) và \(B A\) của góc \(B\), tức khoảng cách từ \(I\) đến \(B C\) bằng khoảng cách từ \(I\) đến \(B A\).

---

Bước 4: Vậy \(I\) cách đều các cạnh của tam giác

Từ bước 3, ta thấy \(I\) cách đều \(A B\) và \(A C\) (vì thuộc phân giác góc \(A\)) và cũng cách đều \(B A\) và \(B C\) (vì thuộc phân giác góc \(B\)).

Nhưng \(A B\) và \(B A\) chính là cùng một cạnh, vậy \(I\) cách đều ba cạnh của tam giác \(A B C\).

---

Bước 5: Đường phân giác thứ ba cũng đi qua \(I\)

• Đường phân giác \(C F\) là tập hợp điểm cách đều hai cạnh \(A C\) và \(B C\).
• Vì \(I\) cách đều ba cạnh \(A B\), \(B C\), \(A C\), thì điểm \(I\) phải nằm trên đường phân giác \(C F\).

---

Kết luận:

Ba đường phân giác trong tam giác \(A B C\) đồng quy tại điểm \(I\), điểm này còn gọi là trung điểm nội tiếp của tam giác \(A B C\).