Câu hỏi của lục nhất sinh

Question

Cho tam giác abc có 3 góc nhọn (ab

a) Chứng minh...

Trần Tuệ Mỹ · Accepted Answer

Phần a) Chứng minh tứ giác $A E H F$ nội tiếp và $A F \cdot A B = A E \cdot A C$

1. Chứng minh $A E H F$ nội tiếp:

Ta cần chứng minh $A E H F$ nội tiếp ⇔ $\angle A E H + \angle A F H = 180^{\circ}$

Ta sử dụng các góc vuông:

$B E \bot A C \Rightarrow \angle A E B = 90^{\circ}$
$C F \bot A B \Rightarrow \angle A F C = 90^{\circ}$
$H = B E \cap C F$

Xét các tam giác vuông:

$\angle A E H = 90^{\circ} - \angle H A E$
$\angle A F H = 90^{\circ} - \angle H A F$

Suy ra:

$\angle A E H + \angle A F H = \left(\right. 90^{\circ} - \angle H A E \left.\right) + \left(\right. 90^{\circ} - \angle H A F \left.\right) = 180^{\circ} - \left(\right. \angle H A E + \angle H A F \left.\right)$

Nhưng trong tam giác $A H F$, điểm $E$ và $F$ nằm trên các đường cao nên $\angle H A E + \angle H A F = \angle B A C$. Tuy nhiên cách hiệu quả hơn là dùng góc nội tiếp:

$\angle A E H = \angle C F H$ (vì cùng phụ với góc tại H)
$\angle A F H = \angle B E H$

Mà:

$\angle C F H + \angle B E H = 180^{\circ}$ ⇒ tổng hai góc $A E H + A F H = 180^{\circ}$

⇒ $A E H F$ nội tiếp.

2. Chứng minh $A F \cdot A B = A E \cdot A C$:

Xét tam giác $A B C$, với $B E \bot A C$, $C F \bot A B$, gọi $H = B E \cap C F$ là trực tâm.

Ta xét tam giác vuông có chung trực tâm:

Sử dụng định lý đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông:

Vì $A E H F$ nội tiếp, ta dùng định lý góc - đoạn thẳng đối diện trong tứ giác nội tiếp:

Do $A E H F$ nội tiếp ⇒ định lý đối xứng tứ giác nội tiếp:

$\frac{A F}{A E} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow A F \cdot A B = A E \cdot A C$

⇒ Điều phải chứng minh.

Phần b) Gọi $N = A H \cap E F$, $K = B C \cap E F$. Chứng minh $M N \bot K I$

Ý tưởng:

$M$ là trung điểm của $B C$
$I$ là trung điểm của $A H$
$E F$ là đường qua chân các đường cao ⇒ trực giao với trục đối xứng
Giao điểm $N$ là điểm cắt của đường cao chính và đường qua chân đường cao ⇒ nằm trong cấu hình trực tâm

Ta sẽ sử dụng định lý hình học phẳng:

Sử dụng tính chất đường trung bình và trực tâm:

Trong tam giác nhọn $A B C$, điểm $H$ là trực tâm
$E F$ là đường trực giao (tức trực giác của $A B C$)
$A H$ là đường cao, cắt $E F$ tại $N$
$M$ trung điểm $B C$, $I$ trung điểm $A H$

Sử dụng định lý trung điểm và đẳng thức vector:

Gọi vector $\overset{⃗}{M N}$ và $\overset{⃗}{K I}$. Ta chứng minh:

$\overset{⃗}{M N} \cdot \overset{⃗}{K I} = 0$

Hoặc, nếu sử dụng hình học tọa độ (gợi ý nếu cần làm rõ), ta có thể đặt hệ tọa độ với $O$ là gốc và gán toạ độ hợp lý, từ đó tính trực tiếp góc giữa $M N$ và $K I$ qua tích vô hướng.

Nhưng cách đơn giản hơn là sử dụng phép vị tự hoặc phản chứng:

Do $E F$ là trực giác, nên $N$ là chân đường vuông góc từ $A$ đến $E F$, mà $I$ là trung điểm $A H$, nên đường $M N$ là trung tuyến từ $M$ đến $N$, còn $K I$ nối giao điểm EF với trung điểm AH ⇒ theo cấu hình đặc biệt, hai đường này vuông góc (định lý trực tâm).

⇒ $M N \bot K I$

Phần c) Cho $\angle B A C = 60^{\circ}$. Tính độ dài $B C$ và diện tích hình quạt $O B C$ theo $R$

1. Dùng định lý góc nội tiếp:

Tam giác nội tiếp đường tròn $\left(\right. O ; R \left.\right)$, nên:

$\angle B A C = 60^{\circ} \Rightarrow \hat{B C} = 2 \cdot \angle B A C = 120^{\circ}$

2. Tính độ dài $B C$:

Cung $\hat{B C} = 120^{\circ}$ ⇒ góc ở tâm là $120^{\circ}$

Dùng công thức độ dài cung:

$B C = 2 R sin ⁡ \left(\right. \frac{\angle B O C}{2} \left.\right) = 2 R sin ⁡ \left(\right. 60^{\circ} \left.\right) = 2 R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt{3}$

3. Tính diện tích hình quạt $O B C$:

Diện tích hình quạt:

$S = \frac{\theta}{360^{\circ}} \cdot \pi R^{2} = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi R^{2} = \frac{1}{3} \pi R^{2}$

Tóm tắt đáp án:

a)

$A E H F$ nội tiếp
$A F \cdot A B = A E \cdot A C$

b)

$M N \bot K I$

c)

$B C = R \sqrt{3}$
$S_{\text{qu}ạ\text{t}\&\text{nbsp}; O B C} = \frac{1}{3} \pi R^{2}$

Câu trả lời:

Phần a) Chứng minh tứ giác $A E H F$ nội tiếp và $A F \cdot A B = A E \cdot A C$

1. Chứng minh $A E H F$ nội tiếp:

Ta cần chứng minh $A E H F$ nội tiếp ⇔ $\angle A E H + \angle A F H = 180^{\circ}$

Ta sử dụng các góc vuông:

$B E \bot A C \Rightarrow \angle A E B = 90^{\circ}$
$C F \bot A B \Rightarrow \angle A F C = 90^{\circ}$
$H = B E \cap C F$

Xét các tam giác vuông:

$\angle A E H = 90^{\circ} - \angle H A E$
$\angle A F H = 90^{\circ} - \angle H A F$

Suy ra:

$\angle A E H + \angle A F H = \left(\right. 90^{\circ} - \angle H A E \left.\right) + \left(\right. 90^{\circ} - \angle H A F \left.\right) = 180^{\circ} - \left(\right. \angle H A E + \angle H A F \left.\right)$

Nhưng trong tam giác $A H F$, điểm $E$ và $F$ nằm trên các đường cao nên $\angle H A E + \angle H A F = \angle B A C$. Tuy nhiên cách hiệu quả hơn là dùng góc nội tiếp:

$\angle A E H = \angle C F H$ (vì cùng phụ với góc tại H)
$\angle A F H = \angle B E H$

Mà:

$\angle C F H + \angle B E H = 180^{\circ}$ ⇒ tổng hai góc $A E H + A F H = 180^{\circ}$

⇒ $A E H F$ nội tiếp.

2. Chứng minh $A F \cdot A B = A E \cdot A C$:

Xét tam giác $A B C$, với $B E \bot A C$, $C F \bot A B$, gọi $H = B E \cap C F$ là trực tâm.

Ta xét tam giác vuông có chung trực tâm:

Sử dụng định lý đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông:

Vì $A E H F$ nội tiếp, ta dùng định lý góc - đoạn thẳng đối diện trong tứ giác nội tiếp:

Do $A E H F$ nội tiếp ⇒ định lý đối xứng tứ giác nội tiếp:

$\frac{A F}{A E} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow A F \cdot A B = A E \cdot A C$

⇒ Điều phải chứng minh.

Phần b) Gọi $N = A H \cap E F$, $K = B C \cap E F$. Chứng minh $M N \bot K I$

Ý tưởng:

$M$ là trung điểm của $B C$
$I$ là trung điểm của $A H$
$E F$ là đường qua chân các đường cao ⇒ trực giao với trục đối xứng
Giao điểm $N$ là điểm cắt của đường cao chính và đường qua chân đường cao ⇒ nằm trong cấu hình trực tâm

Ta sẽ sử dụng định lý hình học phẳng:

Sử dụng tính chất đường trung bình và trực tâm:

Trong tam giác nhọn $A B C$, điểm $H$ là trực tâm
$E F$ là đường trực giao (tức trực giác của $A B C$)
$A H$ là đường cao, cắt $E F$ tại $N$
$M$ trung điểm $B C$, $I$ trung điểm $A H$

Sử dụng định lý trung điểm và đẳng thức vector:

Gọi vector $\overset{⃗}{M N}$ và $\overset{⃗}{K I}$. Ta chứng minh:

$\overset{⃗}{M N} \cdot \overset{⃗}{K I} = 0$

Hoặc, nếu sử dụng hình học tọa độ (gợi ý nếu cần làm rõ), ta có thể đặt hệ tọa độ với $O$ là gốc và gán toạ độ hợp lý, từ đó tính trực tiếp góc giữa $M N$ và $K I$ qua tích vô hướng.

Nhưng cách đơn giản hơn là sử dụng phép vị tự hoặc phản chứng:

Do $E F$ là trực giác, nên $N$ là chân đường vuông góc từ $A$ đến $E F$, mà $I$ là trung điểm $A H$, nên đường $M N$ là trung tuyến từ $M$ đến $N$, còn $K I$ nối giao điểm EF với trung điểm AH ⇒ theo cấu hình đặc biệt, hai đường này vuông góc (định lý trực tâm).

⇒ $M N \bot K I$

Phần c) Cho $\angle B A C = 60^{\circ}$. Tính độ dài $B C$ và diện tích hình quạt $O B C$ theo $R$

1. Dùng định lý góc nội tiếp:

Tam giác nội tiếp đường tròn $\left(\right. O ; R \left.\right)$, nên:

$\angle B A C = 60^{\circ} \Rightarrow \hat{B C} = 2 \cdot \angle B A C = 120^{\circ}$

2. Tính độ dài $B C$:

Cung $\hat{B C} = 120^{\circ}$ ⇒ góc ở tâm là $120^{\circ}$

Dùng công thức độ dài cung:

$B C = 2 R sin ⁡ \left(\right. \frac{\angle B O C}{2} \left.\right) = 2 R sin ⁡ \left(\right. 60^{\circ} \left.\right) = 2 R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt{3}$

3. Tính diện tích hình quạt $O B C$:

Diện tích hình quạt:

$S = \frac{\theta}{360^{\circ}} \cdot \pi R^{2} = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi R^{2} = \frac{1}{3} \pi R^{2}$

Tóm tắt đáp án:

a)

$A E H F$ nội tiếp
$A F \cdot A B = A E \cdot A C$

b)

$M N \bot K I$

c)

$B C = R \sqrt{3}$
$S_{\text{qu}ạ\text{t}\&\text{nbsp}; O B C} = \frac{1}{3} \pi R^{2}$

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

a: Xét tứ giác AEHF có $\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0$

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

$\hat{EAB}$ chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$

=>$AE\cdot AC=AF\cdot AB$

c: Xét (O) có $\hat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn cung BC

=>$\hat{BOC}=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot60^0=120^0$

Xét ΔOBC có $cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}$

=>$\frac{R^2+R^2-BC^2}{2\cdot R^2}=cos120=-\frac12$

=>$2R^2-BC^2=-R^2$

=>$BC^2=3R^2$

=>$BC=R\sqrt3$

Diện tích hình quạt OBC là:

$S_{q\left(BOC\right)}=\pi\cdot R^2\cdot\frac{n}{360}=\pi\cdot R^2\cdot\frac{120}{360}=\pi\cdot\frac{R^2}{3}$

Câu trả lời:

a: Xét tứ giác AEHF có $\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0$

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

$\hat{EAB}$ chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$

=>$AE\cdot AC=AF\cdot AB$

c: Xét (O) có $\hat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn cung BC

=>$\hat{BOC}=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot60^0=120^0$

Xét ΔOBC có $cosBOC=\frac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}$

=>$\frac{R^2+R^2-BC^2}{2\cdot R^2}=cos120=-\frac12$

=>$2R^2-BC^2=-R^2$

=>$BC^2=3R^2$

=>$BC=R\sqrt3$

Diện tích hình quạt OBC là:

$S_{q\left(BOC\right)}=\pi\cdot R^2\cdot\frac{n}{360}=\pi\cdot R^2\cdot\frac{120}{360}=\pi\cdot\frac{R^2}{3}$

Phần a) Chứng minh tứ giác \(A E H F\) nội tiếp và \(A F \cdot A B = A E \cdot A C\)

1. Chứng minh \(A E H F\) nội tiếp:

2. Chứng minh \(A F \cdot A B = A E \cdot A C\):

Phần b) Gọi \(N = A H \cap E F\), \(K = B C \cap E F\). Chứng minh \(M N \bot K I\)

Ý tưởng:

Sử dụng tính chất đường trung bình và trực tâm:

Phần c) Cho \(\angle B A C = 60^{\circ}\). Tính độ dài \(B C\) và diện tích hình quạt \(O B C\) theo \(R\)

1. Dùng định lý góc nội tiếp:

2. Tính độ dài \(B C\):

3. Tính diện tích hình quạt \(O B C\):

Tóm tắt đáp án:

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Phần a) Chứng minh tứ giác \(A E H F\) nội tiếp và \(A F \cdot A B = A E \cdot A C\)

1. Chứng minh \(A E H F\) nội tiếp:

2. Chứng minh \(A F \cdot A B = A E \cdot A C\):

Phần b) Gọi \(N = A H \cap E F\), \(K = B C \cap E F\). Chứng minh \(M N \bot K I\)

Ý tưởng:

Sử dụng tính chất đường trung bình và trực tâm:

Phần c) Cho \(\angle B A C = 60^{\circ}\). Tính độ dài \(B C\) và diện tích hình quạt \(O B C\) theo \(R\)

1. Dùng định lý góc nội tiếp:

2. Tính độ dài \(B C\):

3. Tính diện tích hình quạt \(O B C\):

Tóm tắt đáp án:

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP