Question

[Hưng Nguyễn]

tính tổng A=2.5+5.8+8.11+...+98.101 gấp gấp gấp

Answer 1

[Trần Tuệ Mỹ]

Các hạng tử có dạng:

\(a_{n} = \left(\right. 3 n - 1 \left.\right) \left(\right. 3 n + 2 \left.\right)\)

Vì:

• \(a_{1} = 2 \cdot 5 = \left(\right. 3 \cdot 1 - 1 \left.\right) \left(\right. 3 \cdot 1 + 2 \left.\right)\)
• \(a_{2} = 5 \cdot 8 = \left(\right. 3 \cdot 2 - 1 \left.\right) \left(\right. 3 \cdot 2 + 2 \left.\right)\)
• \(a_{3} = 8 \cdot 11 = \left(\right. 3 \cdot 3 - 1 \left.\right) \left(\right. 3 \cdot 3 + 2 \left.\right)\)
• ...
• \(a_{n} = \left(\right. 3 n - 1 \left.\right) \left(\right. 3 n + 2 \left.\right)\)
• Dạng tích đặc biệt:

Ta khai triển:

\(\left(\right. 3 n - 1 \left.\right) \left(\right. 3 n + 2 \left.\right) = 9 n^{2} + 6 n - 3 n - 2 = 9 n^{2} + 3 n - 2\)

Vậy:

\(a_{n} = 9 n^{2} + 3 n - 2\)

---

Số cuối cùng là \(98 \cdot 101\), ta tìm \(n\) sao cho:

\(\left(\right. 3 n - 1 \left.\right) \left(\right. 3 n + 2 \left.\right) = 98 \cdot 101 \Rightarrow 3 n - 1 = 98 \Rightarrow n = 33\)

Vậy có 33 số hạng.

---

\(A = \sum_{n = 1}^{33} a_{n} = \sum_{n = 1}^{33} \left(\right. 9 n^{2} + 3 n - 2 \left.\right)\)

Áp dụng công thức tổng:

• \(\sum_{n = 1}^{k} n = \frac{k \left(\right. k + 1 \left.\right)}{2}\)
• \(\sum_{n = 1}^{k} n^{2} = \frac{k \left(\right. k + 1 \left.\right) \left(\right. 2 k + 1 \left.\right)}{6}\)

Với \(k = 33\), ta tính:

1. \(\sum 9 n^{2} = 9 \cdot \frac{33 \cdot 34 \cdot 67}{6} = 11253\)

2. \(\sum 3 n = 3 \cdot \frac{33 \cdot 34}{2} = 1683\)

3. \(\sum \left(\right. - 2 \left.\right) = - 2 \cdot 33 = - 66\)

---

\(A = 11253 + 1683 - 66 = \boxed{12870}\)

---

\(\boxed{A = 12870}\)