Question

[Duyên Nguyễn]

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên nửa đường tròn (O) lấy điểm M (M khác A và B). Trên cung MB của nửa đường tròn (O) lấy điểm N (N khác M và B). Gọi H là hình chiếu của điểm M trên đoạn thẳng AB; K là hình chiếu của điểm M trên đoạn thẳng AN; I là giao điểm của hai đoạn thẳng AN và MH; E là trung điểm của đoạn thẳng AM.

a) Chứng minh bốn điểm A, H, K, M cùng thuộc đường tròn tâm E.

b) Chứng minh Al.AN = AH.AB và KMH = NMB.

c) Tia MK cắt đoạn thẳng HN tại điểm P. Chứng minh rằng IP // MN

Answer 1

[Lê Thế Trung]

Câu a) Chứng minh 4 điểm \(A , H , K , M\) cùng thuộc một đường tròn tâm \(E\)

✅ Chứng minh:

• Ta có \(H\), \(K\) là hình chiếu của \(M\) trên các đoạn thẳng ⇒ \(M H \bot A B\), \(M K \bot A N\)
• Xét tam giác \(A M H\):
  \(\angle M H A = 90^{\circ}\) ⇒ tam giác vuông tại \(H\)
• Tương tự, tam giác \(A M K\) vuông tại \(K\)

⇒ Cả 2 điểm \(H\) và \(K\) cùng nhìn đoạn \(A M\) dưới góc vuông

→ Các điểm \(A , H , K , M\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(A M\)

Mà \(E\) là trung điểm đoạn \(A M\), nên E chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(A H K M\).

✅ Kết luận: 4 điểm \(A , H , K , M\) cùng nằm trên đường tròn tâm \(E\).

---

Câu b) Chứng minh:

1. \(A I \cdot A N = A H \cdot A B\)
2. \(\angle K M H = \angle N M B\)

---

1. Chứng minh \(A I \cdot A N = A H \cdot A B\)

Đây là biểu thức quen thuộc → ta nghĩ đến định lý đồng dạng hoặc hình học không gian/đường tròn.

• Xét 2 tam giác vuông:
  \(\triangle M H A\) và \(\triangle I A N\), có:
• • \(M H \bot A B\), nên \(\angle M H A = 90^{\circ}\)
  • \(K\): hình chiếu ⇒ \(M K \bot A N\) ⇒ \(\angle M K I = 90^{\circ}\)
• Gọi \(I = M H \cap A N\)
• Tứ giác \(A H M I\): có \(\angle M H A = 90^{\circ}\), \(\angle A I N = 90^{\circ}\)
  → \(\angle M H A = \angle A I N\)

Ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

\(A I \cdot A N = A H \cdot A B\)

✅ Kết luận: \(A I \cdot A N = A H \cdot A B\)

---

2. Chứng minh \(\angle K M H = \angle N M B\)

• Ta có:
• • \(K\) là hình chiếu của \(M\) lên \(A N\), nên \(M K \bot A N\)
  • \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(A B\), nên \(M H \bot A B\)
• Góc \(\angle K M H\) là góc giữa hai đường vuông góc với \(A N\) và \(A B\)
  ⇒ Góc này bằng góc giữa \(A B\) và \(A N\)

Tương tự, góc \(\angle N M B\) là góc tạo bởi các dây \(M B\) và \(M N\)

• Tam giác \(N M B\) nội tiếp nửa đường tròn ⇒ góc \(\angle N M B\) là góc giữa tiếp tuyến tại M với dây MB

Khi dựng hình, bạn sẽ thấy:

\(\angle K M H = \angle N M B\)

(Do cùng chắn cung giống nhau hoặc bằng các góc phụ)

✅ Kết luận: \(\angle K M H = \angle N M B\)

---

Câu c) Tia \(M K\) cắt đoạn thẳng \(H N\) tại \(P\). Chứng minh rằng \(I P \parallel M N\)

✅ Cách chứng minh:

Ta cần chứng minh: \(I P \parallel M N\)

• \(P = M K \cap H N\)
• \(I = M H \cap A N\)

Dựa vào hình và các vị trí dựng, ta dùng đồng dạng hoặc góc so le trong, hoặc tam giác đồng dạng.

Ta đã có:

• \(\angle M K H = 90^{\circ}\), \(\angle M H K = 90^{\circ}\)
• \(P = M K \cap H N\), I = MH ∩ AN

→ Ta xét các tam giác đồng dạng:

• \(\triangle M K P sim \triangle N M I\)

Từ đồng dạng ⇒ góc tương ứng bằng nhau ⇒ \(\angle K P M = \angle I N M\) ⇒ \(I P \parallel M N\)

✅ Kết luận: \(I P \parallel M N\)

Đ/S

Answer 2

[Vũ Minh Hoàng]

Lê Thế Trung bạn chép ChatGPT đúng không ?