Question

[Đào Hải Bách]

Có 2 người đứng tại 2 vị trí A và B như hình vẽ. Đường đi của họ bị ngăn cách bởi 25 căn nhà. Người ở vị trí A thì đang đi tới vị trí B, người ở vị trí B thì lại đang đi đến vị trí A. Biết người ở A chỉ có đi lên và rẽ phải - người ở vị trí B chỉ có thể đi xuống và rẽ trái. Tính xác suất để 2 người gặp nhau (làm tròn đến hàng phần trăm) - biết hai người di chuyển cùng số bước với nhau*

Answer 1

[Đào Thảo Nguyên]

1. Tính diện tích viên gạch:

• Viên gạch hình vuông có cạnh 80 cm, vậy diện tích viên gạch là: \(80 \times 80 = 6400\) cm².

2. Tính diện tích một cánh hoa:

• Mỗi cánh hoa là phần giao nhau của hai hình tròn có cùng bán kính \(r\) và khoảng cách giữa hai tâm là \(d = 20 \sqrt{2}\) cm. Vì phần giao nhau này được tạo bởi hai hình tròn có cùng bán kính, ta có thể xem nó như hai cung tròn tạo thành hình thấu kính.
• Để tính diện tích phần giao nhau này, ta cần xác định góc \(\theta\) (tính bằng radian) mà mỗi cung tròn chắn tại tâm của hình tròn. Vì khoảng cách giữa hai tâm là \(d = 20 \sqrt{2}\) và bán kính là \(r\), ta có thể sử dụng định lý cosin để tìm góc \(\theta\):
• • \(d^{2} = r^{2} + r^{2} - 2 r^{2} cos ⁡ \left(\right. \theta \left.\right)\)
  • \(\left(\right. 20 \sqrt{2} \left.\right)^{2} = 2 r^{2} - 2 r^{2} cos ⁡ \left(\right. \theta \left.\right)\)
  • \(800 = 2 r^{2} \left(\right. 1 - cos ⁡ \left(\right. \theta \left.\right) \left.\right)\)
• Để tìm \(r\), ta nhận thấy rằng khi hai hình tròn giao nhau tạo thành hình thấu kính đối xứng, thì nửa khoảng cách giữa hai tâm, tức là \(10 \sqrt{2}\), sẽ tạo thành một tam giác vuông với bán kính \(r\) và đường cao từ tâm đến dây cung chung của hai hình tròn. Do đó:
• • \(r^{2} = \left(\right. 10 \sqrt{2} \left.\right)^{2} + \left(\right. r - h \left.\right)^{2}\), trong đó \(h\) là khoảng cách từ tâm hình tròn đến dây cung chung.
  • Tuy nhiên, cách tiếp cận này vẫn phức tạp. Ta có thể nhận thấy rằng hình thấu kính này thực chất là hai phần hình viên phân. Diện tích mỗi hình viên phân bằng diện tích hình quạt trừ diện tích tam giác.
• Cách tính diện tích cánh hoa đơn giản hơn:
• • Nhận thấy rằng khoảng cách giữa hai tâm \(d = 20 \sqrt{2}\) và nếu ta vẽ đoạn nối hai tâm và hai giao điểm của hai đường tròn, ta sẽ được hai tam giác vuông cân bằng nhau, cạnh góc vuông bằng \(20 \sqrt{2}\)/2 = \(10 \sqrt{2}\).
  • Vậy bán kính \(r\) của đường tròn bằng: \(r = \sqrt{\left(\right. 10 \sqrt{2} \left.\right)^{2} + \left(\right. 10 \sqrt{2} \left.\right)^{2}}\) = \(\sqrt{200 + 200}\) = 20 cm
  • Diện tích mỗi hình quạt tròn là: \(S_{q u ạ t} = \frac{1}{4} \pi r^{2} = \frac{1}{4} \pi \left(\right. 20 \left.\right)^{2} = 100 \pi\)
  • Diện tích tam giác vuông cân là: \(S_{t a m g i \overset{ˊ}{a} c} = \frac{1}{2} \left(\right. 20 \left.\right) \left(\right. 20 \left.\right) = 200\)
  • Diện tích mỗi cánh hoa là: \(2 \times \left(\right. S_{q u ạ t} - S_{t a m g i \overset{ˊ}{a} c} \left.\right)\) = \(2 \times \left(\right. 100 \pi - 200 \left.\right)\) = \(200 \pi - 400 \approx 228.32\) cm²

3. Tính diện tích 4 bông hoa:

• Mỗi bông hoa có 4 cánh, vậy diện tích một bông hoa là: \(4 \times \left(\right. 200 \pi - 400 \left.\right) = 800 \pi - 1600 \approx 913.27\) cm²
• Viên gạch có 4 bông hoa, vậy tổng diện tích các bông hoa là: \(4 \times \left(\right. 800 \pi - 1600 \left.\right) = 3200 \pi - 6400 \approx 3653.09\) cm²

4. Tính diện tích phần màu trắng:

• Diện tích phần màu trắng = Diện tích viên gạch - Diện tích các bông hoa
• Diện tích phần màu trắng = \(6400 - \left(\right. 3200 \pi - 6400 \left.\right) = 12800 - 3200 \pi \approx 2746.91\) cm²

5. Tính chi phí:

• Chi phí phần màu xanh = Diện tích bông hoa × Chi phí trên 1 cm² = \(3653.09 \times 90 , 000\) = 328,778,100 đồng
• Chi phí phần màu trắng = Diện tích phần màu trắng × Chi phí trên 1 cm² = \(2746.91 \times 70 , 000\) = 192,283,700 đồng
• Tổng chi phí = Chi phí phần màu xanh + Chi phí phần màu trắng = 328,778,100 + 192,283,700 = 521,061,800 đồng

6. Đổi sang triệu đồng:

• Tổng chi phí = 521,061,800 đồng = 521.0618 triệu đồng

Kết luận: Chi phí để làm ra 1 viên gạch là khoảng 521.0618 triệu đồng.

Answer 2

[Đào Thảo Nguyên]

1. Số bước di chuyển: Vì hai người di chuyển cùng số bước, họ chỉ có thể gặp nhau ở những vị trí mà tổng số bước từ A và B đến vị trí đó là bằng nhau.
2. Hướng di chuyển: Người A chỉ có thể đi lên và rẽ phải, người B chỉ có thể đi xuống và rẽ trái.
3. Số lượng nhà: Có 25 căn nhà ngăn cách đường đi của A và B. Điều này có nghĩa là có một số con đường phải đi qua các căn nhà này.

Phân tích bài toán:

• Hệ tọa độ: Để đơn giản, ta có thể đặt hệ tọa độ với A là (0, 0) và B là (m, n), trong đó m và n là số bước đi về phía phải và lên trên từ A đến B (hoặc ngược lại từ B về A).
• Số bước tối thiểu: Số bước tối thiểu để đi từ A đến B (hoặc B về A) là m + n.
• Điều kiện gặp nhau: Để hai người gặp nhau tại một điểm C(x, y), tổng số bước từ A đến C và từ B đến C phải bằng nhau. Tức là (x + y) + ((m - x) + (n - y)) = m + n.
• Xác suất: Xác suất gặp nhau tại một điểm C sẽ phụ thuộc vào số cách đi từ A đến C và từ B đến C, chia cho tổng số cách đi từ A đến B và từ B về A.

Các bước giải:

1. Xác định kích thước lưới: Dựa vào hình vẽ và thông tin về 25 căn nhà, ta cần xác định kích thước của lưới đường đi (m và n). Ví dụ, nếu có 5 hàng và 6 cột nhà, thì m = 6 và n = 5.
2. Tìm các điểm gặp nhau có thể: Liệt kê tất cả các điểm C(x, y) mà tại đó hai người có thể gặp nhau, tuân thủ quy tắc di chuyển của mỗi người (A chỉ đi lên và rẽ phải, B chỉ đi xuống và rẽ trái).
3. Tính số cách đi từ A đến C và từ B đến C: Sử dụng công thức tổ hợp để tính số cách đi từ A đến C (C(x, y)) là C(x+y, x) và số cách đi từ B đến C là C((m-x)+(n-y), m-x).
4. Tính số cách đi từ A đến B và từ B về A: Tương tự, số cách đi từ A đến B là C(m+n, m). Vì B đi ngược lại, số cách đi từ B về A cũng là C(m+n, m).
5. Tính xác suất gặp nhau tại mỗi điểm C: Xác suất gặp nhau tại C = (Số cách đi từ A đến C * Số cách đi từ B đến C) / (Tổng số cách đi từ A đến B * Tổng số cách đi từ B về A).
6. Tính tổng xác suất: Cộng tất cả các xác suất gặp nhau tại các điểm C để được xác suất tổng thể.

Ví dụ (Giả định):

• Giả sử lưới có kích thước 5x5 (m=5, n=5).
• Tổng số cách đi từ A đến B (hoặc B về A) là C(10, 5) = 252.

Để đơn giản, giả sử họ chỉ có thể gặp nhau ở ô chính giữa (2, 2).

• Số cách đi từ A đến (2, 2) là C(4, 2) = 6.
• Số cách đi từ B (5, 5) đến (2, 2) là C(6, 3) = 20.
• Xác suất gặp nhau tại (2, 2) = (6 * 20) / (252 * 252) = 120 / 63504 = 0.00189 (0.19%)

Lưu ý rằng đây chỉ là một ví dụ đơn giản. Trong bài toán thực tế, bạn cần xác định kích thước lưới, liệt kê tất cả các điểm có thể gặp nhau và tính toán xác suất cho từng điểm, sau đó cộng lại.

Lưu ý: Bài toán này có thể trở nên phức tạp hơn nếu có các chướng ngại vật (ví dụ: không được đi vào một số ô nhất định).

Vì không có hình ảnh cụ thể, tôi không thể xác định chính xác kích thước lưới và vị trí của các căn nhà. Bạn cần cung cấp thêm thông tin chi tiết để tôi có thể giúp bạn giải bài toán này một cách chính xác hơn. Sau khi có đủ thông tin, tôi sẽ thực hiện các bước tính toán và cung cấp kết quả xác suất (làm tròn đến hàng phần trăm) cho bạn.