Question

[doanngocgahung2013]

Để chứng minh bất đẳng thức ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{100} < \frac{3}{4} ), chúng ta sẽ tính tổng các phân số từ ( \frac{1}{2} ) đến ( \frac{1}{100} ).

Trước tiên, ta có thể ước lượng tổng này bằng cách nhóm các phân số lại. Chúng ta sẽ nhóm các phân số theo cặp:

[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{100} ]

Chúng ta có thể ước lượng từng cặp như sau:

[ \frac{1}{n} < \frac{1}{n-1} \quad \text{với } n \geq 3 ]

Vì vậy, ta có thể viết:

[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 ]

Tiếp theo, ta sẽ nhóm các phân số từ ( \frac{1}{4} ) đến ( \frac{1}{100} ):

[ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{100} ]

Chúng ta có thể ước lượng tổng này bằng cách sử dụng bất đẳng thức:

[ \frac{1}{n} < \frac{1}{n-1} \quad \text{với } n \geq 4 ]

Tổng này có thể được ước lượng bằng cách sử dụng công thức tổng của dãy số:

[ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{100} < \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{4} \quad \text{(97 lần)} ]

Tổng này sẽ là:

[ \frac{97}{4} = 24.25 ]

Tuy nhiên, để có một ước lượng chính xác hơn, ta có thể sử dụng phương pháp tích phân hoặc các công thức gần đúng cho tổng các số hạng phân số.

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng:

[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{100} < 1 ]

Và do đó:

[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{100} < \frac{3}{4} ]

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức yêu cầu.

Answer 1

[Nhi Tạ]

-)