Question

[Võ Đào Thanh Ngọc]

cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ ba đường trung tuyến AP, BBM, CN cắt tại G. Vẽ hình và ghi giả thuyết kết luận
a) chứng minh: tam giác BNC = tam giác CMB
b) biết độ dài PG là 2cm. Tính AG; AP

Answer 1

[Nguyễn Đoàn Ngọc Hân]

a) Chứng minh \(\triangle B N C \cong \triangle C M B\):

1. Vì tam giác \(A B C\) cân tại \(A\) nên \(A B = A C\).
2. Do \(N\) và \(M\) lần lượt là trung điểm của \(A B\) và \(A C\) nên ta có
   \(B N = \frac{1}{2} A B \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} C M = \frac{1}{2} A C .\)
   Do \(A B = A C\) nên \(B N = C M\).
3. Đồng thời, \(B C\) là chung của hai tam giác \(B N C\) và \(C M B\).
4. Vì đường trung tuyến \(A P\) của tam giác cân \(A B C\) không chỉ là trung tuyến mà còn là đường cao và đường phân giác, nên nó phân đôi góc tại \(A\) và đối xứng hai phần tam giác. Do đó, các góc đối ứng tại \(N\) và \(M\) cũng đối xứng.
5. Như vậy, theo tiêu chí \(S - A - S\) (cạnh–góc–cạnh), ta có
   \(\triangle B N C \cong \triangle C M B .\)

---

b) Tính \(A G\) và \(A P\) biết \(P G = 2\) cm:

• Gọi \(G\) là trọng tâm (giao điểm của ba trung tuyến).
• Trong bất kỳ tam giác nào, trọng tâm chia mỗi trung tuyến theo tỉ số \(A G : G P = 2 : 1\).
• Ta có \(P G = 2\) cm nên:
• • \(A P = A G + G P = 2 \times G P + G P = 3 \times G P = 3 \times 2 = 6\) cm.
  • \(A G = \frac{2}{3} A P = \frac{2}{3} \times 6 = 4\) cm.