Question

[Thầy Cao Đô]

Cho hai biểu thức $A=\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}$; $B=\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}+\dfrac{x+5}{x-1}$ với $x \ge 0, \, x \ne 1$.

a) Tính giá trị của $A$ tại $x=\dfrac14$.

b) Chứng minh rằng $B=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$.

c) Đặt $P=A.B$. Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn $P\le 4$.

Answer 1

[subjects]

\(a;\) thay x = \(\dfrac{1}{4}\) vào A ta được:

\(A=\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\sqrt{\dfrac{1}{4}}+1}=\dfrac{1}{6}\)

\(b;\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}+\dfrac{x+5}{x-1}\\ =\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{x+5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\dfrac{3\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}+1\right)+\left(x+5\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\dfrac{3\sqrt{x}-3-\sqrt{x}-1+x+5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\dfrac{x+2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

c; P = A.B = \(\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}\)

để \(P\le4\text{ thì }\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}\le4\)

\(⇒\: x\le4\sqrt{x}-4\\ ⇒\: x-4\sqrt{x}+4\le0\\ ⇒\: \left(\sqrt{x}-2\right)^2\le0\\ \left(\sqrt{x}-2\right)^2\ge0\text{ nên dấu = xảy ra khi }\sqrt{x}-2=0\\ ⇒\: x=4\text{ }\)

vậy x = 4