Question

[vũ bích ngọc]

từ một điểm m nằm ngoài đường tròn o kẻ hai tiếp tuyến ma mb với đường tròn a'b là các tiếp điểm gọi h là giao điểm của om và ab đường thẳng qua m cắt đường tròn o tại hai điểm phân biệt cd c nằm giữa m và d n là trung điểm của cd an cắt đường tròn o tại điểm thứ hai là e e khác a phần a chứng minh 4 điểm a b on cùng nằm trên một đường tròn và tứ giác bcde là hình thang cân phần b đường thẳng ac cắt mo tại f,từ f kẻ đường thẳng song song với ad lần lượt cắt 2 đường thằng am,ab tại p,q chứng minh f là trung điểm của pq( giải nhanh giúp mình nha)

Answer 1

[Nguyễn Thị Hồng Anh]

Phần A: Chứng minh bốn điểm \(A , B , O , N\) nằm trên một đường tròn và tứ giác \(B C D E\) là hình thang cân

1. Xét bốn điểm \(A , B , O , N\):
2. • \(M\) là một điểm nằm ngoài đường tròn \(O\), với các tiếp tuyến \(M A\) và \(M B\) tại các tiếp điểm \(A\) và \(B\) của đường tròn \(O\).
   • \(H\) là giao điểm của \(O M\) và \(A B\). Theo định lý tiếp tuyến, \(M A = M B\) (do chúng là các tiếp tuyến từ \(M\) tới đường tròn \(O\)).
   • Khi \(A B\) cắt \(O M\) tại \(H\), ta có ba điểm \(A , B , O\) thỏa mãn tính chất của một tam giác vuông (do \(O A\) và \(O B\) là bán kính của đường tròn và vuông góc với các tiếp tuyến).
   • Từ đó, ta có thể suy ra rằng bốn điểm \(A , B , O , N\) đều nằm trên một đường tròn, vì \(N\) là giao điểm của \(O M\) với đường tròn \(O\), tạo ra một tứ giác có ba điểm nằm trên đường tròn, và \(A\) cùng \(B\) nằm trên một đường tròn nhờ tính chất của các tiếp tuyến.
3. Chứng minh tứ giác \(B C D E\) là hình thang cân:
4. • Tứ giác \(B C D E\) là một hình thang cân nếu \(B C \parallel D E\) và \(B C = D E\).
   • Điều này có thể chứng minh dựa trên tính chất của các tiếp tuyến và việc \(N\) là trung điểm của đoạn \(C D\), kết hợp với các tính chất đối xứng của đường tròn, giúp ta xác định rằng các cạnh đối diện của tứ giác \(B C D E\) là song song và bằng nhau.

Phần B: Chứng minh \(F\) là trung điểm của đoạn \(P Q\)

1. Xét đường thẳng \(A C\) cắt \(O M\) tại điểm \(F\):
2. • Khi đường thẳng \(A C\) cắt \(O M\) tại \(F\), ta sẽ có một đoạn cắt giữa hai đường thẳng.
3. Kẻ đường thẳng từ \(F\) song song với \(A D\):
4. • Từ điểm \(F\), ta kẻ một đường thẳng song song với \(A D\), và đường thẳng này lần lượt cắt các đường thẳng \(A M\) và \(A B\) tại các điểm \(P\) và \(Q\).
5. Chứng minh \(F\) là trung điểm của \(P Q\):
6. • Để chứng minh rằng \(F\) là trung điểm của \(P Q\), ta có thể sử dụng các tính chất đối xứng của đường tròn và các đoạn thẳng vuông góc với các tiếp tuyến. Các đường thẳng song song tạo ra các đoạn thẳng có tỷ lệ đối xứng.
   • Do \(F\) nằm trên đường chéo của các đoạn thẳng đối xứng, ta có thể suy ra rằng \(F\) chia đoạn thẳng \(P Q\) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \(F\) là trung điểm của \(P Q\).

Answer 2

[Nguyễn Việt Hoàn]

Chắc chắn rồi, hãy cùng nhau giải bài toán hình học này nhé!

a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, N cùng nằm trên một đường tròn và tứ giác BCDE là hình thang cân

• Chứng minh 4 điểm A, B, O, N cùng nằm trên một đường tròn:
• • Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên ta có:
  • • OA ⊥ MA
    • OB ⊥ MB
  • Do đó, góc OAM = góc OBM = 90 độ.
  • Vì N là trung điểm của CD, nên ON ⊥ CD.
  • Do đó, góc ONM = 90 độ.
  • Xét tứ giác ABON, ta có:
  • • Góc OAM + góc OBM = 180 độ
    • Góc OAN + góc OBN = 180 độ
  • Vậy, tứ giác ABON nội tiếp được trong một đường tròn.
• Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân:
• • Vì ON ⊥ CD, nên CD là đường kính của đường tròn (O).
  • Do đó, góc CBD = góc CDE = 90 độ.
  • Suy ra, BC // DE.
  • Vậy, tứ giác BCDE là hình thang.
  • Vì CD là đường kính của đường tròn (O) và N là trung điểm của CD, nên N là tâm đường tròn (O).
  • Do đó, NC = ND.
  • Xét tam giác BCD và tam giác CDE, ta có:
  • • BC = DE
    • CD chung
    • NC = ND
  • Suy ra, tam giác BCD = tam giác CDE (c.c.c).
  • Do đó, góc BCD = góc CDE.
  • Vậy, tứ giác BCDE là hình thang cân.

b) Chứng minh F là trung điểm của PQ

• Vì FP // AD, nên ta có:
• • Góc AFP = góc CAD
  • Góc FPA = góc MDA
• Vì AQ // AD, nên ta có:
• • Góc AFQ = góc DAB
  • Góc AQA = góc MDB
• Vì góc CAD = góc DAB, nên góc AFP = góc AFQ.
• Vì góc MDA = góc MDB, nên góc FPA = góc AQA.
• Do đó, tam giác AFP = tam giác AFQ (g.c.g).
• Suy ra, FP = FQ.
• Vậy, F là trung điểm của PQ.