Question

[Nguyễn Đức Tài]

Câu 17 .Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (0) đường kính BC,cắt AB,AC lần lượt tại E,và D, BD cắt CE tại H, AH cắt  BC tại I. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN của đường tròn (0) (M.N là tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác AEHD  nội tiếp.

b) Chứng minh AB.BE=BI.BC , từ đó suy ra AB.BE+AC.CD=BC2

c) Chứng minh ba điểm M,H,N,, thẳng hàng.

giải bài toians này giup em voi ạ

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>CE\(\perp\)AB tại E

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>BD\(\perp\)AC tại D

Xét tứ giác AEHD có \(\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHD là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔABC có

BD,CE là các đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại I

Xét ΔBEC vuông tại E và ΔBIA vuông tại I có

\(\widehat{EBC}\) chung

Do đó: ΔBEC~ΔBIA

=>\(\dfrac{BE}{BI}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(BE\cdot BA=BI\cdot BC\)

Xét ΔCDB vuông tại D và ΔCIA vuông tại I có

\(\widehat{DCB}\) chung

Do đó: ΔCDB~ΔCIA

=>\(\dfrac{CD}{CI}=\dfrac{CB}{CA}\)

=>\(CD\cdot CA=CI\cdot CB\)

\(BE\cdot BA+CD\cdot CA=BI\cdot BC+CI\cdot BC\)

=BC(BI+CI)

\(=BC\cdot BC=BC^2\)