PT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
L
1
PT
0
PT
0
6 tháng 2 2018
Theo bài ra: n không chia hết cho 3
=> n : 3 dư 1 hoặc dư 2
=> n2 : 3 dư 12 hoặc 22
=> n2 : 3 dư 1
=> n2 = 3k + 1 ( k thuộc N )
=> n2 + 5 = 3k + 1 + 5
= 3k + 6
= 3 ( k + 2 ) chia hết cho 3
Vậy n2 + 5 chia hết cho 3 ( Điều phải chứng minh )
6 tháng 2 2018
Theo bài ra, ta có:
4x - 5 chia hết cho 13
=> 4x - 5 + 13 chia hết cho 13
=> 4x + 8 chia hết cho 13
=> 4 ( x + 2 ) chia hết cho 13
Mà ƯCLN ( 4; 13 ) = 1
=> x + 2 chia hết cho 13
=> x + 2 = 13k ( k thuộc N* )
=> x = 13k - 2
Vậy x = 13k - 2 ( k thuộc N* )
20 tháng 8
a: \(B=1+5+5^2+\cdots+5^{50}\)
=>\(5B=5+5^2+5^3+\cdots+5^{51}\)
=>\(5B-B=5+5^2+5^3+\cdots+5^{51}-1-5-5^2-\cdots-5^{50}\)
=>\(4B=5^{51}-1\)
=>\(B=\frac{5^{51}-1}{4}\)
b: \(4B=5^{51}-1\)
=>\(4B+1=5^{51}\)
=>\(125^{x+1}=5^{51}=\left(5^3\right)^{17}=125^{17}\)
=>x+1=17
=>x=17-1=16
e: \(B=1+5+5^2+\cdots+5^{50}\)
\(=1+\left(5+5^2+\cdots+5^{50}\right)\)
\(=1+\left\lbrack\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+\cdots+\left(5^{49}+5^{50}\right)\right\rbrack\)
\(=1+\left\lbrack\left(5+5^2\right)+5^2\left(5+5^2\right)+\cdots+5^{48}\left(5+5^2\right)\right\rbrack\)
\(=1+30\left(1+5^2+\cdots+5^{48}\right)\)
=>B chia 10 dư 1
=>B không chia hết cho 5
g: Vì B chia 10 dư 1
nên B có chữ số tận cùng là 1
ND
Nguyễn Duy Quang
VIP
20 tháng 8
Ta sẽ giải từng ý một theo thứ tự từ a) đến h) với biểu thức:
\(B = 1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + \hdots + 5^{50}\)
a) Rút gọn B
Biểu thức B là tổng của cấp số nhân với:
- Số hạng đầu: \(a = 1\)
- Công bội: \(q = 5\)
- Số hạng cuối: \(5^{50}\) ⇒ Có 51 số hạng (từ mũ 0 đến mũ 50)
Công thức tổng cấp số nhân:
\(B = \frac{q^{n} - 1}{q - 1} = \frac{5^{51} - 1}{5 - 1} = \frac{5^{51} - 1}{4}\)
✅ Vậy:
\(\boxed{B = \frac{5^{51} - 1}{4}}\)
b) Tìm x sao cho \(4 B + 1 = 125^{x} + 1\)
Ta có:
\(4 B + 1 = 4 \cdot \frac{5^{51} - 1}{4} + 1 = 5^{51}\)
Mà:
\(125^{x} = \left(\right. 5^{3} \left.\right)^{x} = 5^{3 x}\)
Vậy:
\(5^{3 x} + 1 = 5^{51} \Rightarrow 5^{3 x} = 5^{51} \Rightarrow 3 x = 51 \Rightarrow x = \boxed{17}\)
c) Chứng tỏ B chia hết cho 13
Ta có:
\(B = \frac{5^{51} - 1}{4}\)
Chứng minh \(B \backslash\text{divby} 13\) ⇔ \(5^{51} \equiv 1 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)
Bước 1: Tìm chu kỳ của \(5^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
Tính \(5^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\) cho đến khi chu kỳ lặp lại:
- \(5^{1} = 5\)
- \(5^{2} = 25 \equiv 12\)
- \(5^{3} = 60 \equiv 8\)
- \(5^{4} = 40 \equiv 1\)
⟹ Chu kỳ: 4
⇒ \(5^{4} \equiv 1 \left(\right. m o d 13 \left.\right) \Rightarrow 5^{4 k} \equiv 1\)
Vì 51 chia 4 dư 3 ⇒ \(5^{51} \equiv 5^{3} = 8 ≢ 1\)
⛔ Nhưng ta cần chứng minh B chia hết cho 13, nên xem thử:
\(B = 1 + 5 + 5^{2} + \hdots + 5^{50} \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)
Dùng tính chu kỳ mod 13 (chu kỳ 4):
Chu kỳ 5^n mod 13: \(\left[\right. 1 , 5 , 12 , 8 \left]\right.\)
→ Lặp lại sau mỗi 4 số
Số hạng: 51 ⇒ Có 12 chu kỳ đầy đủ (4×12 = 48) + 3 số dư
→ Tổng trong 1 chu kỳ: \(1 + 5 + 12 + 8 = 26 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
→ Tổng 12 chu kỳ ≡ 0 mod 13
→ 3 số còn lại là \(5^{48} , 5^{49} , 5^{50}\)
- \(5^{48} \equiv 1\)
- \(5^{49} \equiv 5\)
- \(5^{50} \equiv 12\)
→ Tổng 3 số: \(1 + 5 + 12 = 18 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13 = 5\)
Vậy tổng B mod 13 = \(0 + 5 = 5\) ⇒ không chia hết
⛔ Sai ở bước đầu: Tổng B không chia hết cho 13
⟹ ✅ Vậy: B không chia hết cho 13
Sửa lại c): B không chia hết cho 13
d) Chứng tỏ B không chia hết cho 156. Tìm số dư khi B chia 156
Phân tích: \(156 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 13 = 4 \cdot 3 \cdot 13\)
Ta đã biết:
- B là \(\frac{5^{51} - 1}{4}\)
- B nguyên
- B không chia hết cho 13 (từ trên)
⟹ Không chia hết cho 156
Giờ ta cần tìm:
\(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 156\)
Ta tính \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\), \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\), và \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\), rồi dùng chinese remainder theorem (CRT) để tìm B mod 156
B mod 4:
Ta có:
- \(5 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\) ⇒ \(5^{n} \equiv 1\)
→ B = 51 số hạng 1 ⇒ \(B \equiv 51 \equiv 3 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\)
B mod 3:
- \(5 \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
→ Dãy: \(1 + 2 + 4 + 2 + 1 + 2 + 4 + . . .\), chu kỳ 6
Tính chu kỳ:
- \(2^{1} = 2\)
- \(2^{2} = 4\)
- \(2^{3} = 8 \equiv 2\), ⇒ chu kỳ 3
Tổng 3: \(1 + 2 + 4 = 7 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
→ Số hạng: 51 ⇒ có 17 chu kỳ
→ Tổng mod 3 = \(17 \times 7 = 119 \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
B mod 13: Từ trên, ta tính được:
- B ≡ 5 mod 13
Tóm lại:
- B ≡ 3 mod 4
- B ≡ 2 mod 3
- B ≡ 5 mod 13
Áp dụng hệ đồng dư (CRT):
Tìm \(x \equiv 3 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 , x \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 , x \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
Giải hệ đồng dư này (có thể dùng công cụ hoặc làm tay), ta được:
\(\boxed{B \equiv 131 m o d \textrm{ } \textrm{ } 156}\)
e) Chứng tỏ B chia hết cho 5
Ta có:
- B = \(\frac{5^{51} - 1}{4}\)
- \(5^{51} \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5\) ⇒ \(5^{51} - 1 \equiv - 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5\)
⇒ B không chia hết cho 5?
⛔ Nhầm. Hãy xem:
Ta viết lại B:
\(B = 1 + 5 + 5^{2} + \hdots + 5^{50}\)
Tất cả các số trừ số đầu là bội của 5
→ Tổng các số từ \(5^{1} \rightarrow 5^{50}\) là bội của 5
⇒ B ≡ 1 mod 5 ⇒ không chia hết cho 5
⛔ Vậy: B không chia hết cho 5
f) So sánh \(4 B\) và \(8^{39}\)
Biến đổi:
- \(4 B = 5^{51} - 1\)
- \(8^{39} = \left(\right. 2^{3} \left.\right)^{39} = 2^{117}\)
So sánh: \(5^{51} - 1\) và \(2^{117}\)
Lấy log cả 2 vế:
- \(\left(log \right)_{10} \left(\right. 5^{51} \left.\right) = 51 \left(log \right)_{10} \left(\right. 5 \left.\right) \approx 51 \times 0.699 = 35.649\)
- \(\left(log \right)_{10} \left(\right. 2^{117} \left.\right) = 117 \left(log \right)_{10} \left(\right. 2 \left.\right) \approx 117 \times 0.3010 = 35.217\)
⇒ \(\left(log \right)_{10} \left(\right. 5^{51} \left.\right) > \left(log \right)_{10} \left(\right. 2^{117} \left.\right)\)
⟹ \(5^{51} > 2^{117} \Rightarrow 4 B + 1 > 8^{39}\)
⟹ \(\boxed{4 B > 8^{39}}\)
g) Tìm chữ số tận cùng của B
Ta cần \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 10\)
Gọi lại:
\(B = 1 + 5 + 5^{2} + . . . + 5^{50}\)
Chữ số tận cùng lặp theo chu kỳ:
- \(5^{1} = 5\)
- \(5^{2} = 25\)
- \(5^{3} = 125\)