Question

[Ha Linh Nguyen]

Tìm tất cả m,n thuộc tập N* thoả mãn m^2-2016=3^n

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(m^2-2016=3^n\)

Do 2016 và \(3^n\) đều chia hết cho 3 nên \(m^2\) chia hết cho 3

Suy ra m chia hết cho 3

\(\Rightarrow m=3k\) với \(k\in Z^+\)

Thay vào: \(\left(3k\right)^2-2016=3^n\)

\(\Rightarrow9k^2-2016=3^n\) (1)

Do 9 và 2016 đều chia hết cho 9 nên \(3^n\) chia hết cho 9

\(\Rightarrow n\ge2\)

- Với \(n=2\Rightarrow9k^2-2016=3^2\)

\(\Rightarrow k^2=225\Rightarrow k=15\)

\(\Rightarrow m=3.15=45\)

- Với \(n>2\)

(1) tương đương: \(k^2-224=3^{n-2}\)

\(\Rightarrow k^2=3^{n-2}+224\)

Do \(n>2\Rightarrow3^{n-2}\) chia hết cho 3

Mà 224 chia 3 dư 2

Nên \(3^{n-2}+224\) chia 3 dư 2

Suy ra \(k^2\) chia 3 dư 2 (vô lý do 1 số chính phương chia 3 chỉ có 2 số dư là 0 và 1)

Vậy ko tồn tại \(n>2\) thỏa mãn yêu cầu

Do đó có đúng 1 cặp m;n thỏa mãn là \(m=45;n=2\)