PT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HL
0
14 tháng 8
tham khảo:\(\)
Bước 1: Hoàn thành bình phương
Ta nhóm và hoàn thành bình phương để nhìn rõ cấu trúc.
Với A:
\(x^{2} + 2 x + 2 y^{2} - 4 y + 5\)
- Hoàn thành bình phương cho \(x\):
\(x^{2} + 2 x = \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} - 1\)
- Với \(2 y^{2} - 4 y\):
\(2 \left(\right. y^{2} - 2 y \left.\right) = 2 \left[\right. \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} - 1 \left]\right. = 2 \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} - 2\)
- Thay lại:
\(A = \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} - 1 + 2 \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} - 2 + 5\) \(A = \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + 2\)
Với B:
\(2 x^{2} + 4 x + y^{2} - 8 y + 10\)
- Với \(2 x^{2} + 4 x\):
\(2 \left(\right. x^{2} + 2 x \left.\right) = 2 \left[\right. \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} - 1 \left]\right. = 2 \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} - 2\)
- Với \(y^{2} - 8 y\):
\(y^{2} - 8 y = \left(\right. y - 4 \left.\right)^{2} - 16\)
- Thay lại:
\(B = 2 \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} - 2 + \left(\right. y - 4 \left.\right)^{2} - 16 + 10\) \(B = 2 \left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 4 \left.\right)^{2} - 8\)
Bước 2: Đặt biến mới
Đặt:
\(u = x + 1 , v = y - 1\)
Khi đó:
- \(y - 4 = v - 3\)
Biểu thức trở thành:
\(A = u^{2} + 2 v^{2} + 2\) \(B = 2 u^{2} + \left(\right. v - 3 \left.\right)^{2} - 8\)
Bước 3: Giả sử chúng là số chính phương
Giả sử:
\(A = p^{2} , B = q^{2}\)
với \(p , q\) nguyên không âm.
Hệ:
\(u^{2} + 2 v^{2} + 2 = p^{2} \left(\right. 1 \left.\right)\) \(2 u^{2} + \left(\right. v - 3 \left.\right)^{2} - 8 = q^{2} \left(\right. 2 \left.\right)\)
Bước 4: Loại trừ
Từ (1) nhân 2:
\(2 u^{2} + 4 v^{2} + 4 = 2 p^{2}\)
So sánh với (2):
\(\left(\right. 2 u^{2} + 4 v^{2} + 4 \left.\right) - \left[\right. 2 u^{2} + \left(\right. v - 3 \left.\right)^{2} - 8 \left]\right. = 2 p^{2} - q^{2}\)
Rút gọn vế trái:
\(4 v^{2} + 4 - \left(\right. v^{2} - 6 v + 9 \left.\right) + 8 = 3 v^{2} + 6 v + 3\)
Vậy:
\(3 v^{2} + 6 v + 3 = 2 p^{2} - q^{2}\)
Nhận thấy:
\(3 v^{2} + 6 v + 3 = 3 \left(\right. v + 1 \left.\right)^{2}\)
Do đó:
\(3 \left(\right. v + 1 \left.\right)^{2} = 2 p^{2} - q^{2} \left(\right. 3 \left.\right)\)
Bước 5: Tìm nghiệm
(1) ⇒ \(u^{2} = p^{2} - 2 v^{2} - 2\) phải nguyên không âm.
(2) ⇒ \(u^{2} = \frac{q^{2} - \left(\right. v - 3 \left.\right)^{2} + 8}{2}\) cũng phải nguyên không âm.
Ta có thể thử giá trị nhỏ của \(v\) để xem có nghiệm nguyên không.
- v = -1:
Từ (3): \(0 = 2 p^{2} - q^{2}\) ⇒ \(q^{2} = 2 p^{2}\) ⇒ không có nghiệm nguyên trừ \(p = q = 0\) nhưng khi đó (1) ⇒ \(u^{2} + 2 + 2 = 0\) vô lý. - v = 0:
(3): \(3 = 2 p^{2} - q^{2}\). Thử p nhỏ thấy không khớp với (1),(2) cùng lúc. - Thử vài \(v\) khác, đều ra mâu thuẫn hoặc \(u^{2}\) âm.
Sau khi kiểm tra các giá trị \(v\) hợp lý, không xuất hiện cặp \(\left(\right. u , v \left.\right)\) nguyên nào thoả mãn đồng thời.
✅ Kết luận:
Không tồn tại số nguyên \(x , y\) để cả hai biểu thức đều là số chính phương.
16 tháng 10 2015
Bài 1 bạn phải dùng BDT Bunhiacopxki : ( ax +by )2 <= ( nhỏ hơn bằng ) ( a2 + b2 )( x2 + Y2 )
Ở đây hệ số của x là 1 nên a là 1.
Ta có: ( x + 2y )2 <= ( 12 + (căn2)2 ) ( x2 + ( căn 2 )2y2 )
=> 1 <= 3 ( x2 + 2y2 )
=> x2 + 2y2 >= 1/3
27 tháng 7 2019
Bài 3
Với abc=1
Ta CM \(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}=1\)
\(VT=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{a^2bc+abc+ac}\)
\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\)(ĐPCM)
Ta có \(\left(1+a\right)^2+b^2+5=\left(a^2+b^2\right)+2a+6\ge2ab+2a+6\)
=> \(\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}=\frac{2ab+2a+6}{ab+a+4}=2-\frac{2}{ab+a+4}\)
Mà \(\frac{1}{ab+a+4}=\frac{1}{ab+a+1+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)\)(do \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\))
=> \(\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}\ge2-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{6}-\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+a+1}\)
Khi đó
\(P\ge\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}\right)=\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.1=5\)
\(MinP=5\)khi \(a=b=c=1\)
PN
1
14 tháng 9 2019
\(a,x^2-4xy+5y^2=169\\ \Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+y^2=169\\ Vìx,y\in Znên:\\ \left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y\right)^2=0\\y^2=169\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y\right)^2=169\\y^2=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y\right)^2=25\\y^2=144\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y\right)^2=144\\y^2=25\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\ Giảira\)
Tacó:
\(S=5x^2+2y^2+4xy-2x+4y+2019\)
\(=\left(4x^2+4xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+4y+4\right)+2014\)
\(=\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+2014\)
\(\ge2014\)
Dau "=' xảy ra khi x= 1 ; y=-2