\(A=xyz\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) với x, y...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

10 tháng 10 2019

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(A=xyz\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

\(\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3.\left(\frac{x+y+y+z+z+x}{3}\right)^3\)

\(=\left(\frac{1}{3}\right)^3.\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{729}\)

\(Max_A=\frac{8}{729}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

NV
3 tháng 5 2020

Câu 2:

Từ điều kiện bài này có thể đặt ẩn phụ và AM-GM ra luôn kết quả, nhưng hơi rắc rối khi người ta hỏi từ đâu mà có cách đặt ẩn phụ như vậy, do đó ta giải trâu :D

\(x^2+y^2+z^2+xyz=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}+2\left(\frac{x}{2}.\frac{y}{z}.\frac{z}{2}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{xy}{2z}.\frac{xz}{2y}+\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}+\frac{yz}{2x}.\frac{xz}{2y}+2\left(\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}.\frac{xy}{2y}\right)=1\)

Đặt \(\left(\frac{xy}{2z};\frac{zx}{2y};\frac{yz}{2x}\right)=\left(m;n;p\right)\Rightarrow mn+np+pn+2mnp=1\)

\(\Leftrightarrow2\left(n+1\right)\left(m+1\right)\left(p+1\right)=\left(n+1\right)\left(m+1\right)+\left(n+1\right)\left(p+1\right)+\left(m+1\right)\left(p+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{p+1}=2\)

\(\Leftrightarrow1=\frac{n}{n+1}+\frac{m}{m+1}+\frac{p}{p+1}\ge\frac{\left(\sqrt{n}+\sqrt{m}+\sqrt{p}\right)^2}{m+n+p+3}\)

\(\Leftrightarrow m+m+p+2\left(\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\right)\le m+n+p+3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow x+y+z\le3\)

NV
3 tháng 5 2020

Câu 1:

\(2xyz=1-\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=2xyz+\left(x+y+z\right)-1\)

\(VT=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-4xyz+2\)

\(VT\ge\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3+2\)

\(VT\ge\frac{4}{27}\left[\frac{15}{4}-\left(x+y+z\right)\right]\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)

(Do \(0< x;y;z< 1\Rightarrow x+y+z< 3< \frac{15}{4}\))

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

18 tháng 4 2019

\(H=\frac{1}{\left(x+1\right)^2+y^2+1}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2+z^2+1}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2+x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow\)\(H=\frac{1}{\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-2y}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2-2z}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2+\left(x+1\right)^2-2x}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(H\le\frac{1}{2.\left(x+1\right)\left(y+1\right)-2y}+\frac{1}{2.\left(y+1\right)\left(z+1\right)-2z}+\frac{1}{2.\left(z+1\right)\left(x+1\right)-2x}\)

\(\Leftrightarrow H\le\frac{1}{2.\left(x+y+xy+1\right)-2y}+\frac{1}{2.\left(y+z+yz+1\right)-2z}+\frac{1}{2.\left(x+z+xz+1\right)-2x}\)

\(\Leftrightarrow H\le\frac{1}{2.\left(x+xy+1\right)}+\frac{1}{2.\left(y+yz+1\right)}+\frac{1}{2.\left(z+xz+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow H\le\frac{1}{2}\left[\frac{xyz}{x\left(1+y+yz\right)}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{xyz}{xz\left(y+yz+1\right)}\right]\)

\(\Leftrightarrow H\le\frac{1}{2}\left[\frac{yz}{1+y+yz}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{y}{y+yz+1}\right]=\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> \(x=y=z=1\)

Vậy \(H_{max}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

27 tháng 6 2018

ta có: \((x+y+z)xyz=1 \)

      \((x+y+z)x={1\over yz} \)

     hay\(x^2+xy+xz={1\over yz}\)

Ta có:\((x+y)(x+z)=x^2+xz+xy+yz={1\over yz}+yz\)

Áp dụng Bdt Cauchy là ra!!

8 tháng 7 2019

Ta có

\(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x\left[4\left(4-y-z\right)+yz\right]}\)

                                             \(=\sqrt{x\left(4\left(x+\sqrt{xyz}\right)+yz\right)}\)

                                             \(=\sqrt{4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz}\)

                                              \(=2x+\sqrt{xyz}\)

Khi đó \(T=2\left(x+y+z\right)+3\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}=2.4=8\)