Question

[Quoc Tran Anh Le]

Tìm các giá trị lượng giác của góc \({120^o}\) (H.3.4)

Answer 1

[Kiều Sơn Tùng]

Tham khảo:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = {120^o}\)

Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Vì  \(\widehat {xOM} = {120^o} > {90^o}\) nên M nằm bên trái trục tung.

Khi đó:\(\;\cos {120^o} =  - \,\;\overline {ON} ,\;\;\sin {120^o} = \overline {OP} \)

Vì \(\widehat {xOM} = {120^o}\) nên \(\widehat {NOM} = {180^o} - {120^o} = {60^o}\) và \(\widehat {POM} = {120^o} - {90^o} = {30^o}\)

Vậy các tam giác \(\Delta MON\) và \(\Delta MOP\) vuông tại N, p và có một góc bằng \({30^o}\)

\( \Rightarrow ON = MP = \frac{1}{2}OM = \frac{1}{2}\)(Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc \({30^o}\) bằng một nửa cạnh huyền)

Và \(OP = MN = \sqrt {O{M^2} - O{N^2}}  = \sqrt {{1^2} - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy điểm M có tọa độ là \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

Và \(\cos {120^o} =  - \frac{1}{2};\;\;\;\sin {120^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(\begin{array}{l}\; \Rightarrow \;\tan {120^o} = \frac{{\sin {{120}^o}}}{{\cos {{120}^o}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}:\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \sqrt 3 ;\\\cot {120^o} = \frac{{\cos {{120}^o}}}{{\sin {{120}^o}}} = \left( { - \frac{1}{2}} \right):\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\end{array}\)

Chú ý

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc \({120^o}\)

Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:

Bấm phím “SHIFT”  “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)

Tính \(\sin {120^o}\), bấm phím:  sin  1  2  0  \(^o\)’’’  = ta được kết quả là \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Tính \(\cos {120^o}\),bấm phím:  cos  1  2  0  \(^o\)’’’  = ta được kết quả là \(\frac{{ - 1}}{2}\)

Tính \(\tan {120^o}\), bấm phím:  tan  1  2  0  \(^o\)’’’  = ta được kết quả là \( - \sqrt 3 \)

( Để tính \(\cot {120^o}\), ta tính \(1:\tan {120^o}\))