Question

[MMbeos]

Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn:

|x - 2| + |x - 1| = 3 - (y + 2)^2

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Ta có: \(\left|x-2\right|+\left|x-1\right|=3-\left(y+2\right)^2\)

mà \(\left|x-2\right|+\left|x-1\right|=\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\ge\left|x-1+2-x\right|=1\) và \(3-\left(y+2\right)^2\le3\forall y\)

nên \(1\le3-\left(y+2\right)^2\le3\)

=>\(-2\le-\left(y+2\right)^2\le0\)

=>\(2\ge\left(y+2\right)^2\ge0\)

mà x,y nguyên

nên ta sẽ có hai trường hợp

TH1: \(\left(y+2\right)^2=0\)

=>\(y+2=0\)

=>y=-2

Ta có: \(\left|x-2\right|+\left|x-1\right|=3-\left(y+2\right)^2\)

=>|x-2|+|x-1|=3(1)

TH1: x<1

=>x-1<0; x-2<0

(1) sẽ trở thành: 1-x+2-x=3

=>3-2x=3

=>2x=0

=>x=0(nhận)

TH2: 1<=x<2

=>x-1>=0; x-2<0

(1) sẽ trở thành: x-1+2-x=3

=>1=3(vô lý)

TH3: x>=2

=>x-1>0; x-2>=0

(1) sẽ trở thành: x-1+x-2=3

=>2x=6

=>x=3(nhận)

TH2: \(\left(y+2\right)^2=1\)

=>\(\left[\begin{array}{l}y+2=1\\ y+2=-1\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}y=-1\\ y=-3\end{array}\right.\)

Ta có: \(\left|x-2\right|+\left|x-1\right|=3-\left(y+2\right)^2\)

=>\(\left|x-2\right|+\left|x-1\right|=3-1=2\) (2)

TH1: x<1

=>x-1<0; x-2<0

(2) sẽ trở thành: 1-x+2-x=2

=>3-2x=2

=>2x=1

=>\(x=\frac12\) (nhận)

TH2: 1<=x<2

=>x-1>=0; x-2<0

(2) sẽ trở thành: x-1+2-x=2

=>1=2(vô lý)

TH3: x>=2

=>x-1>0; x-2>=0

(2) sẽ trở thành: x-1+x-2=2

=>2x=5

=>\(x=\frac52\) (nhận)