Câu hỏi của Hoàng Văn Quang

Question

thầy cô và các bạn hướng dẫn giúp em cách giải bài này với ạ

Cho số A = 10101...0101 gồm n chữ số 1 ( chữ số đầu và cuối là 1, các chữ số 1 và 0 xen kẽ nhau ). Tìm n sa...

Phí Nam Phong · Accepted Answer

Số $A$ có dạng (vì các chữ số là $1 , 0 , 1 , 0 , \ldots , 1$ với $n$ chữ số $1$)

$A=\sum_{k=0}^{n-1}10^{2k}=1+10^2+10^4+\ldots+10^{2\left(\right.n-1\left.\right)}=\frac{100^{\textrm{ } n} - 1}{100 - 1}=\frac{100^{\textrm{ } n} - 1}{99}.$

(a) $A$ chia hết cho $99$.
Ta cần $\frac{100^{n} - 1}{99} \equiv 0 \left(\right. m o d 99 \left.\right)$, tức là

$100^{n} - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 99^{2} \left.\right) .$

Viết $100 = 1 + 99$. Theo khai triển nhị thức, modulo $99^{2}$ ta có

$100^{n} = \left(\right. 1 + 99 \left.\right)^{n} \equiv 1 + n \cdot 99 \left(\right. m o d 99^{2} \left.\right) .$

Vậy $100^{n} \equiv 1 \left(\right. m o d 99^{2} \left.\right)$ khi và chỉ khi $99 n \equiv 0 \left(\right. m o d 99^{2} \left.\right)$, tức $n \equiv 0 \left(\right. m o d 99 \left.\right)$.
=> Những $n$ thỏa là mọi bội của $99$ (ít nhất $n = 99$ là nhỏ nhất dương).

(b) $A$ chia hết cho $9999$.
Phân tích $9999 = 3^{2} \cdot 11 \cdot 101 = 9 \cdot 11 \cdot 101$. Vì các thừa số này đôi một nguyên tố khác nhau, đủ để yêu cầu $A \equiv 0$ theo từng modulo.

Modulo $9$: $100 \equiv 1 \left(\right. m o d 9 \left.\right)$ nên $A \equiv n \left(\right. m o d 9 \left.\right)$. Do đó cần $n \equiv 0 \left(\right. m o d 9 \left.\right)$.
Modulo $11$: $100 \equiv 1 \left(\right. m o d 11 \left.\right)$ nên $A \equiv n \left(\right. m o d 11 \left.\right)$. Do đó cần $n \equiv 0 \left(\right. m o d 11 \left.\right)$.
Modulo $101$: $100 \equiv - 1 \left(\right. m o d 101 \left.\right)$. Do đó
$A\equiv k=0∑n-1(-1)k={0(mod101),1(mod101),nchẵn,nlẻ.}$
Nên cần $n$ chẵn.

Kết hợp: $n$ phải chia hết cho $9$, $11$ và đồng thời là chẵn. Do đó $n$ phải chia hết cho $l c m \left(\right. 9 , 11 , 2 \left.\right) = 198$.
=> Những $n$ thỏa là mọi bội của $198$ (ít nhất $n = 198$ là nhỏ nhất dương).

Câu trả lời: