Question

[Trần Đình Thuyên]

Giúp mình với

Giả sử hàm số y=f(x) liên tục, dương trên (0;+vô cùng) thỏa mãn f(1)=1 và \(f^2\left(x\right)=x^3f^'\left(x\right);\forall x\in\left(0;+vocung\right)\) . Giá trị f(2) thuộc khoảng nào dưới đây

A(0;1) B(2;4) C(1;2) D(6;7)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Kiến thức bài này nằm ở giữa gần cuối chương trình lớp 12, lớp 11 ko thể giải được đâu bạn

\(f^2\left(x\right)=x^3f'\left(x\right)\Rightarrow\frac{f'\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=\frac{1}{x^3}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\frac{f'\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}dx=\int\frac{dx}{x^3}\Leftrightarrow\frac{-1}{f\left(x\right)}=-\frac{1}{2x^2}+C\)

Do \(f\left(1\right)=1\Rightarrow\frac{-1}{1}=-\frac{1}{2}+C\Rightarrow C=-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow-\frac{1}{f\left(x\right)}=-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{2}\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x^2+1}\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{8}{5}\) \(\Rightarrow\) đáp án C