HL
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ML
30 tháng 6 2015
\(A=n^n+5n^2-11n+5=n^n-n+5\left(n-1\right)^2\)
\(\text{Do }5\left(n-1\right)^2\text{ chia hết cho }\left(n-1\right)^2\text{ nên ta cần chứng minh }n^n-n\text{ chia hết cho }\left(n-1\right)^2\)
\(\text{Hay }\left(n+1\right)^{n+1}-\left(n+1\right)\text{ chia hết cho }n^2\left(n\ge1\right)\)
\(B=\left(n+1\right)^{n+1}-\left(n+1\right)=\left(n+1\right).\left(n+1\right)^n-\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)^n-1\right]\)
\(=\left(n+1\right)\left(n+1-1\right)\left[\left(n+1\right)^{n-1}+\left(n+1\right)^{n-2}+...+\left(n+1\right)^1+1\right]\)
\(=\left(n+1\right).n.\left[\left(n+1\right)^{n-1}+\left(n+1\right)^{n-2}+...+\left(n+1\right)+1\right]\)
\(\text{Để chứng minh }B\text{ chia hết cho }n^2\text{ thì ta chứng minh }\left[\left(n+1\right)^{n-1}+...+1\right]\text{ chia hết cho }n\)
\(\left(n+1\right)^{n-1}+...+1=\left(n+1\right)^{n-1}+...+\left(n+1\right)^0\text{ có }n\text{ số hạng}\)
\(\text{Ta thấy: }\left(n+1\right)^k=a_k.n^k+a_{k-1}.n^{k-1}+...+a_1.n^1+1\text{ với mọi số tự nhiên }k\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^k\text{ chia }\left(n-1\right)\text{ luôn dư 1.}\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^{n-1};\left(n+1\right)^{n-2};....\left(n+1\right)^1;\left(n+1\right)^0\text{ (n số) chia n đều dư 1.}\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^{n-1}+...+\left(n+1\right)+1\text{ chia hết cho }n\)
\(\Rightarrow B=\left(n+1\right)n\left[\left(n+1\right)^{n-1}+...+1\right]\text{ chia hết cho }n^2\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^{n+1}-\left(n+1\right)\text{ chia hết cho }n^2\text{ với mọi }n\ge1\)
\(n^2-n\text{ chia hết cho }\left(n-1\right)^2\text{ với mọi }n\in N;\text{ }n\ge2\)
\(\text{ }\)\(\Rightarrow n^2-n+5\left(n-1\right)^2\text{ chia hết cho }\left(n-1\right)^2\text{ với }n\in N;n\ge2\text{ (đpcm)}\)
ND
Cho A = \(\frac{2}{3}+\frac{8}{9}+\frac{26}{27}+......+\frac{3^n-1}{3^n}\) CMR A > n-\(\frac{1}{2}\)
1
19 tháng 2 2019
\(A=\frac{2}{3}+\frac{8}{9}+\frac{26}{27}+...+\frac{3^n-1}{3^n}\)
\(=\frac{3-1}{3}+\frac{9-1}{9}+\frac{27-1}{27}+...+\frac{3^n-1}{3^n}\)
\(=\left(\frac{3}{3}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{9}{9}-\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{27}{27}-\frac{1}{27}\right)+.....+\left(\frac{3^n}{3^n}-\frac{1}{3^n}\right)\)
\(=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+....+\frac{1}{3^n}\right)\)
\(=n-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{3^n}\right)\)
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh:\(B=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{3^n}< \frac{1}{2}\) là xong!
Thật vậy:\(B=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^n}\)
\(3B=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{3^{n-1}}\)
\(\Rightarrow2B=1-\frac{1}{3^n}\)
\(\Rightarrow B=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{3^n}}{2}< \frac{1}{2}\)
Ta có:\(A=n-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+.....+\frac{1}{3^n}\right)\)
\(>n-\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)(bất đẳng thức đổi chiều)
2 tháng 4 2016
A= 1/2+ 1/4+ 1/8+ 1/2n
=>2A = 1 + 1/2 +1/4+ 1/2n-1
=>A = 1 - 1/2n-1
=> A < 1
B= 4/(5*2!) + 4/(5*3!)+...+4/(5*n!)
=>5/4* B =1/2!+1/3!+...+1/n!<1
=>B < 0,8
mình nha các bạn !!!
2 tháng 4 2016
A=1/2+1/4+1/8+1/2n
=>2A=1+1/2+1/4+1/2n-1
=>A=1-1/2n-1
=>A<1
31 tháng 3 2016
phục bạn rồi lớp 6 học cái này thì chỉ có h/s giỏi lớp 6 mới làm chứ bài này không phải của lớp 6 đâu
9 tháng 4 2017
cau 1
de a dat gia tri lon nhat suy ra5a-17/4a-23 lon nhat
suy ra 4a-23 phai nho nhat khac 0 va la so nguyen duong
suy ra 4a-23=1
suy ra 4a=1+23=24
suy ra a=24 chia 4=6
vay de a nho nhat thi a=6
Ta có ba số
\(a_{1} = \left(\right. 5 n + 2 \left.\right) + 26 = 5 n + 28 , a_{2} = 5 n + 8 , a_{3} = 2 n + 1 ,\)
và điều kiện chúng tạo thành cấp số cộng, tức
\(2 a_{2} = a_{1} + a_{3} .\)
Thay vào ta được
\(2 \left(\right. 5 n + 8 \left.\right) = \left(\right. 5 n + 28 \left.\right) + \left(\right. 2 n + 1 \left.\right) ,\) \(10 n + 16 = 5 n + 28 + 2 n + 1 = 7 n + 29 ,\) \(10 n + 16 = 7 n + 29 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 n = 13 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \boxed{n = \frac{13}{3}} .\)