Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề số chính phương, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp phản chứng như sau:
Giải:
Giả sử \(\sqrt{a}\) là số hữu tỉ thì ta có: \(\sqrt{a}\) = \(\frac{b}{c}\) (a ≥ 0 b; c ∈ Z\(^{+}\))
⇒ \(\sqrt{a}\) \(^2\) = (\(\frac{b}{c}\))\(^2\)
⇒ a = \(\frac{b^2}{c^2}\)
⇒ ac\(^2\) = b\(^2\)
Vì b; c là số nguyên nên b\(^2\) ; c\(^2\) là số chính phương ⇒ a là số chính phương (theo tính chất của số chính phương)
a là số chính phương vô lý.
Vậy điều giả sử là sai hay a không phải số chính phương thì \(\sqrt{a}\) là số vô tỉ(đpcm)
1. Số chính phương:
Một số tự nhiên \(a\) gọi là số chính phương nếu tồn tại một số tự nhiên \(n\) sao cho \(a = n^{2}\). Ví dụ: 1, 4, 9, 16, 25, ... là các số chính phương.
2. Số vô tỉ:
Một số được gọi là số vô tỉ nếu nó không thể viết dưới dạng \(\frac{p}{q}\), với \(p\) và \(q\) là các số nguyên, \(q \neq 0\). Các ví dụ về số vô tỉ là \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\), v.v.
3. Căn bậc hai của một số tự nhiên không phải là số chính phương:
- Khi \(a\) là một số tự nhiên không phải là số chính phương, nghĩa là không tồn tại một số nguyên \(n\) sao cho \(a = n^{2}\).
- Khi đó, \(\sqrt{a}\) không thể viết dưới dạng \(\frac{p}{q}\), tức là \(\sqrt{a}\) là một số vô tỉ.
4. Chứng minh đơn giản:
Giả sử \(\sqrt{a}\) là một số hữu tỉ, tức là \(\sqrt{a} = \frac{p}{q}\), với \(p\) và \(q\) là các số nguyên và \(q \neq 0\).
Khi bình phương cả hai vế, ta có:
\(a = \frac{p^{2}}{q^{2}}\)
Vậy, \(a\) phải là một số có dạng \(\frac{p^{2}}{q^{2}}\), nghĩa là \(a\) phải là một số chính phương. Tuy nhiên, theo giả thuyết, \(a\) không phải là số chính phương, điều này dẫn đến mâu thuẫn.
Vậy, kết luận là \(\sqrt{a}\) không thể là một số hữu tỉ, và do đó, nó phải là số vô tỉ.
Kết luận:
Nếu \(a\) là một số tự nhiên không phải là số chính phương, thì \(\sqrt{a}\) là một số vô tỉ.
Giả sử \(\sqrt{a}\) là số hữu tỉ thì nó viết được dưới dạng:
\(\sqrt{a}\) = \(\dfrac{m}{n}\) với m,n \(\in\)N, (m,n) = 1
Do a không là số chính phương nên \(\dfrac{m}{n}\) không là số tự nhiên , do đó n > 1
Ta có:
m2= a.n2.
Gọi p là ước nguyên tố nào đó của n , thì m2\(⋮\) p , do đó m \(⋮\) p . Như vậy p là ước nguyên tố của m và n, trái với (m,n)=1
Vậy \(\sqrt{a}\) phải là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{a}\) là số hữu tỉ .
Đặt \(\sqrt{a}=\dfrac{x}{y}\) [\(x;y\in N\),\(y\ne0\) và \(\left(x;y\right)=1\)]
\(\Rightarrow a=\dfrac{x^2}{y^2}\Rightarrow a\cdot y^2=x^2\)
Vì x2 là 1 số chính phương nên a.y2 viết được dưới dạng tích của các số với lũy thừa bằng 2
Mà x; y nguyên tố cùng nhau nên a viết được dưới dạng lũy thừa bằng 2 => a là số chính phương (trái với giả thiết)
=> Giả thiết này sai
=>\(\sqrt{a}\) là 1 số vô tỉ
giả sử \(\sqrt{a}\)hữu tỉ,a ko chính phương
\(\Rightarrow\sqrt{a}=\frac{a}{b}\left(b\ne0\right)\Leftrightarrow n=\frac{a^2}{b^2}\)
\(\Leftrightarrow a^2=n\times b^2\)
mà a2,b2 là số chính phương
=>n chính phương (sai giả thiết)
=>n ko chính phương =>\(\sqrt{a}\)vô tỉ (Đpcm)
Giả sử \(\sqrt{a}\) là số hữu tỉ .
Đặt \(\sqrt{a}=\frac{p}{q}\) (p; q \(\in\) N; q khác 0 và (p;q) = 1)
=> \(a=\frac{p^2}{q^2}\) => a.q2 = p2
Vì p2 là số chính phương nên a.q2 viết được dưới dạng tích của các số với lũy thừa bằng 2
Mà p; q nguyên tố cùng nhau nên a viết được dưới dạng lũy thừa bằng 2 => a là số chính phương (trái với giả thiết)
=> Điều giả sử sai
Vậy \(\sqrt{a}\) là số vô tỉ
Giả sử √a không là số vô tỉ => √a là số hữu tỉ
Đặt \(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\) (m, n ∈ N), (m, n) = 1
(Vì a không là SCP => n > 1)
\(\Rightarrow a=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=an^2\) (*)
Gọi p là ước nguyên tố nào đó của n.
Kết hợp với (*) => m2 ⋮ p => m ⋮ p (vì p là số nguyên tố)
Có m và n ⋮ p. Điều này trái với (m, n) = 1
=> Điều giả sử là sai.
Vậy √a với a là STN không chính phương là 1 số vô tỉ.
Giả sử \(\sqrt{a}\)là số hữu tỉ
Đặt \(\sqrt{a}=\frac{y}{x}\)
dat \(\sqrt{a}\)=x
=>a=x2
=> a k la so chinh phuong thi \(\sqrt[]{a}\) la so vo ti
Trả lời:
+ Giả sử \(\sqrt{a}\notin I\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}\inℚ\)
\(\Rightarrow a=\frac{m}{n}\)với\(\left(m,n\right)=1;m,n\inℕ\)
+ Vì a không là số chính phương
\(\Rightarrow\sqrt{a}\notinℕ\)
\(\Rightarrow\frac{m}{n}\notinℕ\)
\(\Rightarrow n>1\)
+ Vì \(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow a=\frac{m^2}{n^2}\)
\(\Rightarrow m^2=an^2\)
+ Vì \(n>1\)
\(\Rightarrow\)Giả sử n có ước nguyên tố là p
Mà\(n\inℕ\)
Mà\(m^2=an^2\)
\(\Rightarrow m⋮p\)
\(\Rightarrow\)m,n có ƯC là p (Trái với giả thiết (m,n) = 1)
\(\Rightarrow\)Giả sử \(\sqrt{a}\notin I\)sai
\(\Rightarrow\sqrt{a}\in I\)
Vậy nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì\(\sqrt{a}\)là số vô tỉ.
Hok tốt!
Good girl
Giả sứ căn 2 là số hữu tỉ=> căn 2 có thể viết dưới dạng m/n.(phân số m/n tối giản hay m,n nguyên tố cùng nhau)
=>(m/n)^2=2
=>m^2=2n^2
=>m^2 chia hết cho 2
=>m chia hết cho 2
Đặt m=2k (k thuộc Z)
=>(2k)^2=2n^2
=>2k^2=n^2
=> n^2 chia hết cho 2
=> n chia hết cho 2.
Vậy m,n cùng chia hết cho 2 nên chúng không nguyên tố cùng nhau
=> Điều đã giả sử là sai => căn 2 là số vô tỉ.
ĐK: \(a\inℕ\)
Giả sử \(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\) \(\left(UCLN\left(m,n\right)=1\right)\)
Khi đó \(a^2=\left(\frac{m}{n}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}\)
Do a là số tự nhiên nên a2 là số tự nhiên nên \(m^2⋮n^2\)suy ra \(m⋮n\) hay \(UCLN\left(m,n\right)=n\) trái với giả sử \(UCLN\left(m,n\right)=1\)
\(\Rightarrow\) a là số vô tỉ
Hoặc cách khác:
ĐK: a không phải là số chính phương
Suy ra \(a^2\) là số chính phương. Và:\(\sqrt{a^2}=a\) (là một số tự nhiên)
Mặt khác: \(\sqrt{a}\ne a\)
Do vậy \(\sqrt{a}\) là số vô tỉ
nham mot ti x=5/2