Question

[Phạm Minh Châu]

chứng tỏ rằng 1/3 mũ 2 + 1/6 mũ 2 + 1/9 mũ 2 +.......+ 1/300 mũ 2 < 2/9

Answer 1

[Nguyễn Hải Phong]

Chứng minh:

\(\left(\left(\right.\frac{1}{3}\left.\right)\right)^2+\left(\left(\right.\frac{1}{6}\left.\right)\right)^2+\left(\left(\right.\frac{1}{9}\left.\right)\right)^2+\ldots+\left(\left(\right.\frac{1}{300}\left.\right)\right)^2<\frac{2}{9}.\)

Nói cách khác:

\(\sum_{k = 1}^{100} \left(\left(\right. \frac{1}{3 k} \left.\right)\right)^{2} < \frac{2}{9} .\)

---

Bước 1: Viết lại tổng:

\(\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{9 k^{2}} = \frac{1}{9} \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} .\)

---

Bước 2: Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\(\frac{1}{9} \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < \frac{2}{9} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < 2.\)

---

Bước 3: Tính hoặc đánh giá \(\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}}\)

• Tổng \(\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6} \approx 1.6449\).
• Vậy tổng 100 số đầu tiên chắc chắn nhỏ hơn tổng vô hạn:

\(\sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < 1.645 < 2.\)

---

Bước 4: Kết luận

Do đó:

\(\sum_{k = 1}^{100} \left(\left(\right. \frac{1}{3 k} \left.\right)\right)^{2} = \frac{1}{9} \sum_{k = 1}^{100} \frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{9} \times 2 = \frac{2}{9} .\)

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Đặt \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{6^2}+\cdots+\frac{1}{300^2}\)

\(=\frac{1}{3^2}\left(1+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}\right)\)

\(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1\cdot2}=1-\frac12\)

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2\cdot3}=\frac12-\frac13\)

...

\(\frac{1}{100^2}<\frac{1}{99\cdot100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

Do đó: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}<1-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

=>\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}<1\)

=>\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}<1+1=2\)

=>\(A=\frac{1}{3^2}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}\right)<\frac19\cdot2=\frac29\)