Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh bằng cách phản chứng
Giả sử tồn tại số nguyên tố p thõa mãn
Đặt 3p + 19 ( p - 1 ) = n2 ( n là một số nguyên )
* Nếu p = 2, 3 dễ thấy không có số số nguyên n nào thõa mãn
* Nếu p > 3 , p lẻ
+ ) p = 4k + 1
Ta có : 3 ≡ - 1 ( mod4 )
nên 3p ≡ - 1 ( mod4 )
và 19 ≡ 3 ( mod4 ) ; p - 1 ≡ 0 ( mod4 )
Do đó VT ≡ VP ≡ - 1 ( mod4 ) ( vô lí )
+ ) p = 4k + 3
Theo định lí Fermat ta có :
3p ≡ 3 ( modp )
và 19 ( p - 1 ) ≡ - 19 ( modp )
nên VT ≡ - 16 ( modp )
Do đó n2 + 16 \(⋮\) p
Từ đề ta có 4 \(⋮\) p ( vô lí vì 4 không có ước dạng 4k + 3 )
Vậy ta có đpcm
Gỉa sử tồn tại số nguyên p thỏa mãn
Đặt \(3^p+19\left(p-1\right)=n^2\)( n là 1 số nguyên )
* Nếu p=2,3 . Dễ có ko có số nguyên n nào thỏa mãn
* Nếu p>3 , p lẻ
+) p=4k +1
Ta có
\(3=-1\left(modA\right)\)
nên : \(3^p=-1\left(modA\right)\)
Mà \(19\equiv3\left(modA\right);p-1\equiv0\left(modA\right)\)
Do đó : \(VT\equiv VP\equiv-1\left(modA\right)\)( vô lí )
+) p=4k+3
Theo định lí Fermat ta có
\(3^p=3\left(modp\right)\)
và \(19\left(p-1\right)\equiv-19\left(modp\right)\)
nên \(VT\equiv-16\left(modp\right)\)
Do đó : \(n^2+16⋮p\)
-> Ta có : \(4⋮b\)( vô lí )
Vậy ta có đpcm
Với n= 3 , ,chọn x3 =y3 =1
Giả sử với n \(\ge\)3 , tồn tại cặp số nguyên dương lẻ ( xn ,yn ) sao cho 7.xn2 + y2n= 2n.Ta chứng minh mỗi cặp
\(\left(X=\frac{x_n+y_n}{2},Y=\frac{\left|7.x_n-y_n\right|}{2}\right)\),
\(\left(X=\frac{\left|x_n-y_n\right|}{2},Y=\frac{7.x_n\pm y_n}{2}\right)^2=2.\left(7.x_n^2+7_n^2\right)=2.2^n=2^{n+1}\)
Vì xn,yn lẻ nên xn = 2a+1 ; yn = 2k + 1 ( a,k \(\inℤ\))
\(\Rightarrow\frac{x_n+y_n}{2}=k+1+1\)và \(\frac{\left|x_n-y_n\right|}{2}=\left|k-1\right|.\)
Điều đó chứng tỏ rằng một trong các số \(\frac{x_n+y_n}{2}.\frac{\left|x_n+y_n\right|}{2}\)là lẻ .Vì vậy với n + 1 tồn tại các số tự nhiên lẻ xn+1 và yn+1 thỏa mãn 7.x2n+1 + y2n+1 =2n+1=> đpcm
Câu 1 bạn dùng chia hết cho 13
Câu 2 bạn cộng cả 2 vế với z^4 rồi dùng chia 8
Câu 3 bạn đặt a^4n là x thì x sẽ chia 5 dư 1 và chia hết cho 4 hoăc chia 4 dư 1
Khi đó ta có x^2+3x-4=(x-1)(x+4)
đến đây thì dễ rồi
Câu 4 bạn xét p=3 p chia 3 dư 1 p chia 3 dư 2 là ra
Câu 6 bạn phân tích biểu thức của đề thành nhân tử có nhân tử x-2
Câu 5 mình nghĩ là kẹp giữa nhưng chưa ra
Lời giải:
Giả sử $p$ không chia hết cho 3. Khi đó do $p$ nguyên tố nên $p$ không chia hết cho 3.
Nếu $p$ chia 3 dư 1. Đặt $p=3k+1$
$\Rightarrow p+2=3k+3=3(k+1)\vdots 3$. Mà $p+2>3$ nên $p+2$ không là số nguyên tố (trái với đề)
Nếu $p$ chia 3 dư 2. Đặt $p=3k+2$
$\Rightarrow p+4=3k+3=3(k+2)\vdots 3$. Mà $p+4>3$ nên $p+4$ không là số nguyên tố (trái với đề)
Vậy $p=3$