Question

[lộc đào lộc]

chứng minh định lý 2 của hình bình hành

a,tứ giác có cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành

b, tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là một hình bình hành

mọi người giúp em với ạ mọi người nếu giải mọi người chứng minh vào vẽ hình cho hai ý của định lý trên hộ em với ạ em đang cần rất gấp ạ

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a:

Xét tứ giác ABCD có

AB//CD
AD//BC

Do đó: ABCD là hình bình hành

b:

Xét ΔABD và ΔCDB có

AB=CD

\(\hat{ABD}=\hat{CDB}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

BD chung

Do đó: ΔABD=ΔCDB

=>\(\hat{ADB}=\hat{CBD}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AD//BC

Xét tứ giác ABCD có

AB//CD

AD//BC

Do đó: ABCD là hình bình hành

Answer 2

[Phan Quốc Huy]

Định lý 2 (phát biểu)

a) Nếu tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau (theo độ dài) thì tứ giác đó là hình bình hành.
b) Nếu tứ giác có **một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành.

---

Ký hiệu chung cho cả hai phần

Gọi tứ giác \(A B C D\) theo thứ tự (cạnh \(A B , B C , C D , D A\)).
Gọi \(A C\) là một đường chéo.

Cách vẽ hình minh họa (vẽ tay):

1. Vẽ tứ giác bất kì \(A B C D\) (không bắt buộc là hình bình hành).
2. Vẽ đường chéo \(A C\).
3. Đánh dấu các cạnh bằng nhau hoặc song song theo đề bài (dấu “=” cho bằng, mũi tên song song cho song song).
4. Ta sẽ dùng hai tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle C D A\) để so sánh.

---

Phần (a) — Chứng minh:

Giả thiết: \(A B = C D\) và \(B C = A D\).
Phải chứng minh: \(A B \parallel C D\) và \(B C \parallel A D\) (tức là \(A B C D\) là hình bình hành).

Chứng minh:

1. Xét hai tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle C D A\).
2. • \(A B = C D\) (giả thiết).
   • \(B C = A D\) (giả thiết).
   • \(A C\) là cạnh chung.
     Vậy theo tiêu chí SSS (ba cạnh bằng nhau), ta có \(\triangle A B C \cong \triangle C D A\).
3. Từ đồng dư hai tam giác, các góc tương ứng bằng nhau. Cụ thể:
4. • \(\angle B A C = \angle D C A\).
   • \(\angle B C A = \angle D A C\).
5. Quan sát: \(\angle B A C\) là góc giữa đường thẳng \(B A\) và \(A C\); \(\angle D C A\) là góc giữa đường thẳng \(D C\) và \(C A\). Vì hai góc ấy bằng nhau và cùng liên quan đến đường thẳng \(A C\), suy ra đường thẳng \(B A\) song song với đường thẳng \(D C\), tức \(A B \parallel C D\).
   Tương tự, từ \(\angle B C A = \angle D A C\) suy ra \(B C \parallel A D\).
6. Vậy hai cặp cạnh đối của \(A B C D\) song song nhau nên \(A B C D\) là hình bình hành. □

---

Phần (b) — Chứng minh:

Giả thiết: Một cặp cạnh đối (ví dụ \(A B\) và \(C D\)) song song và bằng nhau (tức \(A B \parallel C D\) và \(A B = C D\)).
Phải chứng minh: \(A B C D\) là hình bình hành (tức còn cặp cạnh kia cũng song song).

Chứng minh:

1. Xét hai tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle C D A\) như trên.
2. • \(A B = C D\) (giả thiết).
   • \(A C\) là cạnh chung.
   • Vì \(A B \parallel C D\), nên góc giữa \(B A\) và \(A C\) bằng góc giữa \(D C\) và \(C A\). Tức \(\angle B A C = \angle D C A\).
3. Ta có trong hai tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle C D A\):
4. • Một cạnh bằng (\(A B = C D\)),
   • Một cạnh chung (\(A C\)),
   • Góc giữa hai cạnh này bằng (\(\angle B A C = \angle D C A\)).
     Do đó theo tiêu chí SAS (cạnh-góc-cạnh), \(\triangle A B C \cong \triangle C D A\).
5. Từ đồng dư suy ra \(B C = A D\) (các cạnh tương ứng bằng nhau) và đồng thời các góc tương ứng bằng nhau. Do đó \(\angle B C A = \angle D A C\), suy ra \(B C \parallel A D\).
6. Vì \(A B \parallel C D\) đã có và giờ \(B C \parallel A D\) vừa chứng minh, nên \(A B C D\) là hình bình hành. □

---

Ghi chú/trực quan hóa

• Cả hai chứng minh đều dùng đồng dư tam giác (SSS hoặc SAS) qua đường chéo \(A C\).
• Kết luận: chứng minh ra hai cạnh tương ứng song song → định nghĩa hình bình hành được thỏa mãn.
• Khi vẽ hãy:
• • Vẽ \(A B C D\) và đường chéo \(A C\).
  • Đánh dấu các cạnh bằng nhau (dấu “=”) hoặc mũi tên song song (nếu có song song).
  • Chú thích tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle C D A\) để thấy rõ các cạnh tương ứng.