K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

12 tháng 10 2019

a) Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:

\(x^2+y^2\ge2\sqrt{\left(xy\right)^2}=2xy\)

\(y^2+z^2\ge2\sqrt{\left(yz\right)^2}=2yz\)

\(x^2+z^2\ge2\sqrt{\left(xz\right)^2}=2xz\)

Cộng từ vế của các BĐT trên:

\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\x=y\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\))

12 tháng 10 2019

b) \(2x^2+2y^2+z^2+2xy+2yz+2xz+10x+6y+34=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\right)+\left(x^2+10x+25\right)\)

\(+\left(y^2+6y+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x+5\right)^2+\left(y+3\right)^2=0\)(1)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(x+y+z\right)^2\ge0\\\left(x+5\right)^2\ge0\\\left(y+3\right)^2\ge0\end{cases}}\)nên (1) xảy ra

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=0\\x+5=0\\y+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}z=8\\x=-5\\y=-3\end{cases}}\)

7 tháng 10 2019

a,  \(xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\)\(=x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2+2xyz\)

\(=\left(x^2y+xy^2+xyz\right)+\left(x^2z+xz^2+xyz\right)+\left(y^2z+yz^2\right)\)

\(=xy\left(x+y+z\right)+xz\left(x+z+y\right)+yz\left(y+z\right)\)

\(=x\left(x+y+z\right)\left(y+z\right)+yz\left(y+z\right)\)

\(=\left(y+z\right)\left(x^2+xy+xz+yz\right)\)

\(=\left(y+z\right)\left[x\left(x+z\right)+y\left(x+z\right)\right]\)

\(=\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)

b, \(2x^2+2y^2-x^2z+z-y^2z-2\)

\(=\left(2x^2-x^2z\right)+\left(2y^2-y^2z\right)-\left(2-z\right)\)

\(=x^2\left(2-z\right)+y^2\left(2-z\right)-\left(2-z\right)\)

\(=\left(2-z\right)\left(x^2+y^2-1\right)\)

13 tháng 3 2016

áp dụng tính chất nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+a^3+c^3=3abc\)

22 tháng 7 2017

a, \(x^3+y^3+z^3=3xyz\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)( 1 )

Nhận xét  :   \(\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2\Rightarrow x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3x^2-3xy^2\)

Thay vào ( 1 ) ta có  :  

\(\left(x+y\right)^3+c^3-3x^2y-3xy^2-3xyz\)

\(=\left(z+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(z+y+z\right)\left(z^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2\right)-3xyz\left(z+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(z^2+x^2+y^2-xy-yz-xz\right)\)

Vì theo đầu bài ta có: \(x+y+z=0\)nên ta có ( DPCM ) ..... học cho tốt nhé!

25 tháng 8

\(a)x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3x^2y+3xy^2-3x^2y-3xy^2+z^3-3xyz=0\)

\(\) \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\right.\) \(\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2-3xy)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\right.\) \(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy)=0\)

\(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow0=0\left(đpcm)\right.\)

\(b)\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2\left.x^2yz+2xy^2z+2xyz^2\right)\right.=x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(\right.\) \(x^2yz+xy^2z+xyz^2)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\left(xyz\right)=0\)
\(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow0=0\left(đpcm\right)\)

\(c)\) Ta có:\(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(\right.\) \(x^2yz+xy^2z+xyz^2)=0\)

\(\Rightarrow2\left(\right.\) \(xy+yz+xz^{})=-\left(\right.\) \(x^2+y^2+z^2)\)

\(\Rightarrow4\left(\right.\) \(xy+yz+xz)^2=\) \(x^4+y^4+z^4+2\left(\right.\) \(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)\left(1\right)\)

Mà ta có: \(\left(xy+yz+xz\right)^2=x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\) (theo câu b)

\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+xz\right)^2=2\left(\right.\) \(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)\left(2\right)\)

\(\left(1\right)-\left(2\right)\Leftrightarrow2\left(xy+yz+xz\right)^2=x^4+y^4+z^4\left(đpcm\right)\)