Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tu de bai suy ra 2y+2x=xy<=>...<=>y(2-x)= -2x<=>y=2x/(x-2)<=>y=(2x-4+4)/(x-2)<=>y=2+4/(x-2)
vi x la so nguyen Dưỡng nen x-2 la so nguyen duong va la ước cua 4 => x-2 =1 hoặc x-2= 4 => x=3 hoac x=6
Voi x=3 => y= 6
voi x=6=> y=3
vay cac cap so nguyen duong (x;y) can tim la (3;6); (6;3)
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
Ta có\(x^2+2⋮xy+1\)
\(\Rightarrow\left(x^2+2\right)y⋮xy+1\)
\(\Leftrightarrow x^2y+2y⋮xy+1\)
\(\Leftrightarrow x^2y+x-x+2y⋮xy+1\)
\(\Leftrightarrow x\left(xy+1\right)+2y-x⋮xy+1\)
\(x^2+2⋮xy+1\Leftrightarrow2y-x⋮xy+1\)
Mà x, y nguyên dương nên \(2y-x\ge xy+1\)
\(\Rightarrow xy+1-2y+x\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-2y\right)+x-2+3\le0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-2\right)+x-2\le-3\)
\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(x-2\right)\le-3\)
Để (y+1)(x-2) âm thì 1 trong 2 thừa số phải âm mà y+1\(\ge0\left(y\inℕ^∗\right)\)
suy ra x-2 âm và phải lớn hơn -4.Tuy nhiên x nguyên dương nên x-2 chỉ có thể =-1 khi đó x=1 và
y+1=3\(\Rightarrow y=2\)
Thử lại ta được \(1^2+2⋮1.2+1\)
Vậy x=1;y=2
\(4=\frac{x}{2}+y+\frac{x}{2}+z\ge\sqrt{2xy}+\sqrt{xz}\)
đặt căn 2xy là a,,,,,,căn 2xz là b ....Ta có \(a+b\le4\) và cần CM :\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(\frac{4}{a+b}\right)^2\ge\frac{1}{2}\Rightarrowđpcm\)
Câu hỏi của Lê Thanh Thưởng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
bài này dòng thứ 3 mình gõ nhầm nhé sửa thành "Từ x+y+z=4"
2/ a/ \(y\left(x-1\right)=x^2+2\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)+1-x^2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1-x\right)=3\)
Làm tiếp nhé
b/ \(x^2+xy+y^2=x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow4x^2+4xy+4y^2=4x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(4x^2+8xy+4y^2\right)-\left(4x^2y^2+4xy+1\right)=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+2y\right)^2-\left(2xy+1\right)^2=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+2y+2xy+1\right)\left(2x+2y-2xy-1\right)=-1\)
Làm tiếp nhé
1/ \(x^2+x+19=z^2\)
\(\Leftrightarrow4x^2+4x+76=4z^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-4z^2=-75\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1-2z\right)\left(2x+1+2z\right)=-75\)
Tới đây đơn giản rồi làm tiếp đi nhé
Đặt \(x=a;\frac{1}{y}=b\Rightarrow a,b>0;a^2+b^2=1\). Quy về tìm Min \(A=ab+\frac{1}{ab}\)
Ta có: \(A=\left(4ab+\frac{1}{ab}\right)-3ab\ge2\sqrt{4ab.\frac{1}{ab}}-\frac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}4ab=\frac{1}{ab}\\a=b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2ab=1\\a=b\end{cases}}\Rightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\) (thỏa mãn \(a^2+b^2=1\))
\(\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}};y=\sqrt{2}\)
Vậy...
\(a)\)\(x+xy+y=-6\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-5\)
Lập bảng xét TH ra là xong
\(b)\) CM : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
Xin thêm 1 slot đi hok về làm cho -,-
\(b)\) CM : \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\) ( bđt Cauchy-Schawarz dạng Engel )
Ta có :
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+2017\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}+2017\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}+2017=\frac{\left(2+\frac{4}{2}\right)^2}{2}+2017=2025\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)
Bài này còn có cách khác là sử dụng tính chất tổng 2 phân số nghịch đảo nhau nhá :))
Chúc bạn học tốt ~
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
Điều kiện 1: (x7y+1)⋮(x+1)
Ta biến đổi biểu thức x7y+1 để tìm mối liên hệ với x+1. Ta có: x7≡(−1)7(modx+1)≡−1(modx+1). Do đó, x7y+1≡(−1)y+1(modx+1)≡1−y(modx+1). Theo điều kiện đề bài, (x7y+1)⋮(x+1), nên ta phải có (1−y)⋮(x+1). Vì x,y là các số nguyên dương, nên x+1≥2 và 1−y là một số nguyên. Vì y≥1, nên 1−y≤0. Nếu 1−y=0, thì y=1. Nếu 1−y<0, thì x+1 phải là ước của ∣1−y∣=y−1. Suy ra, x+1≤y−1, hay x+2≤y.
Tóm lại, từ điều kiện 1, ta có hai trường hợp: y=1 hoặc x+2≤y.
Điều kiện 2: (xy7−1)⋮(y−1)
Ta biến đổi biểu thức xy7−1 để tìm mối liên hệ với y−1. Ta có: y≡1(mody−1). Do đó, y7≡17(mody−1)≡1(mody−1). Suy ra, xy7−1≡x(1)−1(mody−1)≡x−1(mody−1). Theo điều kiện đề bài, (xy7−1)⋮(y−1), nên ta phải có (x−1)⋮(y−1). Vì x,y là các số nguyên dương, nên y−1≥0 và x−1 là một số nguyên. Nếu y−1=0, thì y=1. Trong trường hợp này, điều kiện chia hết luôn đúng với mọi số nguyên x. Nếu y−1>0, thì y−1≥1. Nếu x−1=0, thì x=1. Nếu x−1=0, thì y−1 phải là ước của ∣x−1∣. Suy ra, y−1≤∣x−1∣. Vì x,y là số nguyên dương nên x≥1,y≥1.
Tóm lại, từ điều kiện 2, ta có hai trường hợp: y=1 hoặc y≤x (khi y>1).
Kết hợp hai điều kiện
Bây giờ ta xét các trường hợp có thể xảy ra:
Trường hợp 1: y=1.
Tuy nhiên, ta có thể suy luận từ (x−1)⋮(y−1). Khi y=1, ta có (x−1)⋮0. Điều này có thể được hiểu là x−1 phải bằng 0. Do đó, x=1. Thử lại với (x,y)=(1,1):
Trường hợp 2: y>1. Từ điều kiện 1, ta có x+2≤y. Từ điều kiện 2, ta có y≤x. Hai bất đẳng thức này mâu thuẫn nhau: x+2≤y≤x. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu 2≤0, một điều vô lý. Vậy, không có cặp số nguyên dương nào khác thỏa mãn khi y>1.
Kết luận
Chỉ có một cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn cả hai điều kiện là x=1 và y=1.