Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\sum\frac{2}{x^2+y^2}=\sum\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}=\sum\left(1+\frac{z^2}{x^2+y^2}\right)\ge\sum\left(1+\frac{z^2}{2xy}\right)=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh . Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
Ta có :\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{z}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{y-2}{2y}+\dfrac{z-2}{2z}\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :\(\dfrac{y-2}{2y}+\dfrac{z-2}{2z}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{4yz}}=\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)\left(z-2\right)}}{\sqrt{yz}}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{x}\ge\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)\left(z-2\right)}}{\sqrt{yz}}\) (1)
Chứng minh tương tự :\(\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\sqrt{\left(x-2\right)\left(z-2\right)}}{\sqrt{xz}}\) (2)
\(\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\sqrt{\left(x-2\right)\left(y-2\right)}}{\sqrt{xy}}\) (3)
Nhân 3 bất đẳng thức (1),(2) và (3) vế theo vế ta được :
\(\dfrac{1}{xyz}\ge\dfrac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{xyz}\)
\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=z=3\)
Áp dụng bất đăng thức Cauchy : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Nên \(P\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}+2xyz\). Đẳng thức khi : x=y=z
Đặt \(t=\sqrt[3]{xyz}\)
Cũng theo Cauchy : \(1=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt{x^2y^2z^2}\). Đẳng thức khi x=y=z
Nên ta có 0<t\(\le\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{3}{t}+2t^3\) với 0<t\(\le\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Tính \(f'\left(t\right)=-\frac{3}{t^2}+6t^2=\frac{3\left(2t^2-1\right)}{t^2}\)
Lập bảng biến thiên của f(t) rồi chỉ ra : \(f\left(t\right)\ge\frac{29\sqrt{3}}{9}\) với mọi t\(\in\left(0;\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\)
Từ đó \(P\ge\frac{29\sqrt{3}}{9}\)
Giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{29\sqrt{3}}{9}\) đạt được khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(cosA+cosB-cosC=2cos\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin^2\frac{C}{2}-1\)
\(=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin^2\frac{C}{2}-1\)
\(=2sin\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+sin\frac{C}{2}\right)-1\)
\(=2sin\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}\right)-1\)
\(=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}-1\)
1) \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
BĐT cần cm trở thành:
\(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\ge3\)
Theo AM-GM, VT>=6/2=3
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
2)\(x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x^2\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)
=>\(P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{x}=a\\y\sqrt{y}=b\\z\sqrt{z}=c\end{matrix}\right.\Rightarrow abc=1\)
=>\(P\ge\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}\ge2.1=2\)
(Dùng Cauchy-Schwartz chứng minh được:
\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge1\))
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 <=> x=y=z=1
Vậy minP=2<=>x=y=z=1
Đặt \(P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Do x,y,z là các số thực dương nên ta biến đổi \(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x^2};b=\frac{1}{y^2};c=\frac{1}{z^2}\left(a,b,c>0\right)\)thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}=1\)và \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}+a+b+c\)
Biến đổi biểu thức P=\(\left(\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{a+1}{16}\right)+\left(\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{b+1}{16}\right)\)\(+\left(\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{c+1}{16}\right)+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{b}-\frac{3}{16}\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy ta có
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{a+1}{64\left(a+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{b+1}{64\left(b+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{c+1}{64\left(c+1\right)}}+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{16}-\frac{3}{16}\)
\(=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\left(a+b+c\right)\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{abc}\)
Mặt khác ta có \(1=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Leftrightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{27}=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot9=\frac{21}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Giúp mk câu dưới nx nha bạn
Chỉ đúng với \(x;y;z\in R^+\)
Nói chung là ta cần chứng minh
\(x^2+y^2+z^2\ge2xycosC+2zxcosB+2yzcosA\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x\left(ycosC+zcosB\right)+y^2+z^2-2yzcosA\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-ycosC-zcosB\right)^2-\left(ycosC+zcosB\right)^2+y^2+z^2-2yzcosA\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-ycosC-zcosB\right)^2-y^2cos^2C-z^2cos^2B+y^2+z^2-2yz\left(cosB.cosC+cosA\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-ycosC-zcosB\right)^2+y^2\left(1-cos^2C\right)+z^2\left(1-cos^2B\right)-2yz\left(cosB.cosC-cos\left(B+C\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-ycosC-zcosB\right)^2+y^2sin^2C+z^2.sin^2B-2yz.sinB.sinC\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-ycosC-zcosB\right)^2+\left(ysinC-zsinB\right)^2\ge0\) (luôn đúng)