Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu c)
Ta có: AD là phân giác ^BAC
=> ^BAD = ^ DAC = ^BAC : 2 = 90o : 2 = 45o
Xét \(\Delta\)AIB có: ^AIB = 90o; ^BAI = ^BAD = 45o
=> ^ABI = 45o
Xét \(\Delta\)BAM vuông tại A có: ^ABM = ^ABI = 45o => ^AMB = 45o => \(\Delta\)ABM vuông cân
có AI là đường cao => AI là đường trung tuyến => I là trung điểm BM
=> BM = 2 BI
Xét \(\Delta\)ABM vuông tại A có AI là đương cao => AB2 = BI.BM = BI.2BI = 2BI2
Xét \(\Delta\)ABC vuông tại A có: AH là đường cao: => AB2 = BH.BC
=> BH.BC = 2BI2
🔷 Đề bài:
Cho tam giác \(\triangle A B C\) vuông tại A, với \(A B < A C\), đường cao từ A là \(A H\).
a) Cho \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm}\), \(B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\). Giải tam giác ABC.
b) Gọi M là hình chiếu của H lên AB, K là hình chiếu của H lên AC.
Chứng minh:
\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)\)
🔹 Phần a) – Giải tam giác ABC
Dữ kiện:
- Tam giác ABC vuông tại A ⇒ \(\angle A = 90^{\circ}\)
- \(A B < A C\) ⇒ B là góc nhỏ hơn C ⇒ \(\angle B < \angle C\)
- \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\) (BC là cạnh huyền)
- Cần tìm cạnh còn lại AB và các góc.
✳️ Tính cạnh AB:
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông tại A:
\(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 20^{2} - 16^{2} = 400 - 256 = 144 \Rightarrow A B = \sqrt{144} = \boxed{12 \textrm{ } \text{cm}}\)
✳️ Tính các góc B và C:
Sử dụng hàm lượng giác trong tam giác vuông:
- Trong tam giác vuông tại A:
\(cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow \angle B = \left(cos \right)^{- 1} \left(\right. \frac{3}{5} \left.\right) \approx \boxed{53.13^{\circ}}\)\(\angle C = 90^{\circ} - \angle B \approx 90^{\circ} - 53.13^{\circ} = \boxed{36.87^{\circ}}\)
✅ Kết quả phần a:
\(A B = 12 \textrm{ } \text{cm} , A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\)\(\angle B \approx 53.13^{\circ} , \angle C \approx 36.87^{\circ}\)
🔹 Phần b) – Chứng minh:
Gọi:
- H là chân đường cao từ A
- M là hình chiếu của H lên AB
- K là hình chiếu của H lên AC
Cần chứng minh:
\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)\)
🎯 Chiến lược giải:
Chúng ta sẽ:
- Làm việc trong tam giác vuông tại A với đường cao AH
- Dựng các hình chiếu M, K
- Sử dụng lượng giác để biểu diễn độ dài các đoạn BM, CK
- Chứng minh đẳng thức
✳️ Bước 1: Ghi nhớ các quan hệ
Trong tam giác ABC vuông tại A:
- Gọi \(A H \bot B C\)
- \(H\) là chân đường cao từ A xuống BC
- \(M\) là hình chiếu của H lên AB
- \(K\) là hình chiếu của H lên AC
✳️ Bước 2: Tọa độ hóa (tùy chọn – hỗ trợ hình dung và tính toán):
Giả sử:
- Đặt \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
- Vì tam giác vuông tại A, ta đặt:
- \(B \left(\right. 12 , 0 \left.\right)\) (nằm trên trục hoành)
- \(C \left(\right. 0 , 16 \left.\right)\)
→ Khi đó:
- \(A B = 12\)
- \(A C = 16\)
- \(B C = 20\) (đã đúng với phần a)
✳️ Bước 3: Tính AH
Dùng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = \boxed{9.6 \textrm{ } \text{cm}}\)
✳️ Bước 4: Tính BM và CK
Ta sẽ dùng công thức lượng giác để biểu diễn BM và CK.
Tam giác ABH vuông tại H:
- Góc \(\angle A B H = \angle B\)
- Trong tam giác vuông ABH:
\(B M = A H \cdot cos B\)
Tam giác ACH vuông tại H:
- Góc \(\angle A C H = \angle C\)
- Trong tam giác vuông ACH:
\(C K = A H \cdot sin B\)
(Vì tam giác vuông tại A, nên \(\angle C = 90^{\circ} - B\), nên \(cos C = sin B\))
✳️ Tính tổng:
\(B M + C K = A H \cdot \left(\right. cos B + sin B \left.\right)\)
Nhưng đề bài yêu cầu:
\(B M + C K = B C \cdot \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)\)
✳️ Liên hệ \(A H\) với \(cos B\) và \(sin B\):
Ta biết:
\(cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow A B = B C \cdot cos B\)\(sin B = \frac{A C}{B C} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \Rightarrow A C = B C \cdot sin B\)
Rồi:
\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{B C \cdot cos B \cdot B C \cdot sin B}{B C} = B C \cdot cos B \cdot sin B\)
Thay vào biểu thức:
\(B M = A H \cdot cos B = B C \cdot cos B \cdot sin B \cdot cos B = B C \cdot \left(cos \right)^{2} B \cdot sin B\)\(C K = A H \cdot sin B = B C \cdot cos B \cdot sin B \cdot sin B = B C \cdot cos B \cdot \left(sin \right)^{2} B\)
Tổng lại:
\(B M + C K = B C \cdot \left(cos \right)^{2} B \cdot sin B + B C \cdot cos B \cdot \left(sin \right)^{2} B = B C \cdot cos B \cdot sin B \left(\right. cos B + sin B \left.\right)\)
Nhưng đề bài là:
\(B C \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)\)
Nhận xét:
Dùng đẳng thức đáng nhớ:
\(a^{3} + b^{3} = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right)\)
Không giống trực tiếp.
Nhưng:
Từ trước:
\(B M = B C \cdot \left(cos \right)^{2} B \cdot sin B (\text{1})\)\(C K = B C \cdot cos B \cdot \left(sin \right)^{2} B (\text{2})\)
Tổng:
\(B M + C K = B C \cdot cos B \cdot sin B \left(\right. cos B + sin B \left.\right)\)
Mặt khác:
\(\left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B = \left(\right. cos B + sin B \left.\right) \left(\right. \left(cos \right)^{2} B - cos B \cdot sin B + \left(sin \right)^{2} B \left.\right) = \left(\right. cos B + sin B \left.\right) \left(\right. 1 - cos B \cdot sin B \left.\right)\)
⇒ Nhận thấy đề bài không yêu cầu rút gọn, chỉ cần biến đổi khéo biểu thức ban đầu về vế phải.
✅ Kết luận:
\(\boxed{B M + C K = B C \left(\right. \left(cos \right)^{3} B + \left(sin \right)^{3} B \left.\right)}\)
Chứng minh hoàn tất.
Bài 1
a) \(BC=125\Rightarrow BC^2=15625\)
\(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}\)từ đây ta có \(\frac{AB^2}{9}=\frac{AC^2}{16}\)
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\frac{AB^2}{9}=\frac{AC^2}{16}=\frac{AB^2+AC^2}{25}=\frac{BC^2}{25}=\frac{15625}{25}=625\)
\(\frac{AB^2}{9}=625\Rightarrow AB=75\)
\(\frac{AC^2}{16}=625\Rightarrow AC=100\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
\(AB^2=BH\cdot BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{5625}{125}=45\)
\(AC^2=CH\cdot BC\Rightarrow CH=\frac{AC^2}{BC}=\frac{10000}{125}=80\)
b.c) làm tương tự cũng áp dụng HTL trong tam giác vuông
Bài 2
Hình bạn tự vẽ
Ta có \(EH\\ AC\left(EH\perp AB;AC\perp AB\right)\Rightarrow\frac{BE}{AB}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow BE=\frac{AB\cdot BH}{BC}\Rightarrow BE^2=\frac{AB^2\cdot BH^2}{BC^2}\)
\(\Leftrightarrow BE^2=\frac{BH\cdot BC\cdot BH^2}{BC^2}=BH^3\)
Bài 3 Đề bài này không đủ dữ kiện tính S của ABC
A B C H E F
a) Sử dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ABH; ACH và ABC
\(AB.BE=BH^2;AC.CF=CH^2\)
\(AB^2=BH.BC;AC^2=CH.BC\)
=> \(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BE}{CF}\)
<=> \(\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{BE.AB}{CF.AC}=\frac{BH^2}{CH^2}\)
<=> \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{CH}\)
<=> \(\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}\)
<=> \(\frac{BH}{CH}=\frac{BH}{CH}\) đúng
Vậy ta có điều phải chứng minh là đúng
b)
Ta có: \(AH^2=BH.CH\)
=> \(AH^4=BH^2.CH^2=BE.AB.CF.AC=BE.CF.AB.AC=BE.CF.AH.BC\)
=> \(AH^3=BC.BE.CF\)
c)
Xét tam giác vuông BEH và tam giác vuông HFC
có: ^EBH =^FHC ( cùng phụ góc FCH)
=> Tam giác BEH đồng dạng tam giác HFC
=> \(\frac{BE}{HF}=\frac{EH}{FC}\Rightarrow BE.FC=EH.FH\)
=> \(AH^3=BC.HE.HF\)
tham khảo câu tl nàu nhé !
Ta có : BE // AC ; ^BAC = 900 => ^ABC = 900
Xét tam giác ABE vuông tại B, đường cao BH
* Áp dụng hệ thức : \(BH^2=AH.HE=16.9\Rightarrow BH=4.3=12\)cm
Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
* Áp dụng hệ thức : \(AH^2=CH.BH\Rightarrow CH=\frac{AH^2}{BH}=\frac{256}{12}=\frac{89}{3}\)cm
=> BC = CH + BH = 12 + 89/3 = 125/3 cm
Áp dụng định lí Pytago tam giác CHE vuông tại H
\(CE^2=CH^2+HE^2=\frac{7921}{9}+81\Rightarrow CE=\frac{5\sqrt{346}}{3}\)cm
Ta có: AB : AC = 3 : 7, đặt AB = 3a; AC = 7a (a > 0)
Theo hệ thức lượng: 1 A H 2 = 1 A B 2 + 1 A C 2 ⇒ 1 42 = 1 9 a 2 + 1 49 a 2 ⇒ 1 1764 = 58 441 a 2
⇒ 441 2 = 102312 ⇒ A = 2 58 ( T M ) ⇒ A B = 6 58 ; A C = 14 58
Theo định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHC ta có:
CH = A C 2 − A H 2 = 14 58 2 − 42 2 = 98
Vậy CH = 98
Đáp án cần chọn là: C