Question

[Nguyễn Thị Thu Hằng]

Cho tam giác ABC. Trên AB lấy D sao cho AD gấp ba lần BD. Trên AC lấy E sao cho AE gấp ba lần EC. Các đường thẳng EB và CD cắt nhau tại G.

a. Chứng minh rằng:

S_CDB = \(\dfrac{1}{4}\) × S_ABC ; S_BEC = \(\dfrac{1}{4}\)  × S_ABC

b. So sánh S_BDG với S_GEC

c. Biết S_GBC là 15 cm². Tính S_ABC

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: AD+BD=AB

=>AB=3BD+BD=4BD

=>\(BD=\frac14\times BA\)

=>\(S_{CBD}=\frac14\times S_{CBA}\)

Ta có: AC=AE+EC

=>AC=3EC+EC=4EC

=>\(CE=\frac14\times AC\)

=>\(S_{BEC}=\frac14\times S_{ACB}\)

b: Ta có: \(S_{BEC}=\frac14\times S_{ABC};S_{BDC}=\frac14\times S_{ABC}\)

=>\(S_{BEC}=S_{BDC}\)

=>\(S_{BGC}+S_{EGC}=S_{BGC}+S_{BDG}\)

=>\(S_{EGC}=S_{DBG}\)

c: Ta có: DA=3DB

=>\(S_{CDA}=3\times S_{CDB};S_{GDA}=3\times S_{GDB}\)

=>\(S_{CDA}-S_{GDA}=3\times\left(S_{CDB}-S_{GDB}\right)\)

=>\(S_{GAC}=3\times S_{GBC}\) (1)

Ta có: AE=3CE

=>\(S_{BEA}=3\times S_{BEC};S_{GEA}=3\times S_{GEC}\)

=>\(S_{BEA}-S_{GEA}=3\times\left(S_{BEC}-S_{GEC}\right)\)

=>\(S_{BGA}=3\times S_{BGC}\)

Ta có: \(S_{GAC}+S_{GAB}+S_{GBC}=S_{ABC}\)

=>\(3\times S_{GBC}+3\times S_{GBC}+S_{GBC}=S_{ABC}\)

=>\(S_{ABC}=7\times S_{BGC}=7\times15=105\left(\operatorname{cm}^2\right)\)