Question

[꧁WღX༺]

Cho tam giác ABC cân tại A, có BC=2a, M là trung điểm BC, lấy D,E thuộc AB,AC sao cho \(\widehat{DME}=\widehat{B}\)

a) Chứng minh tích BD.CE không đổi

b) Chứng minh DM là tia phân giác của \(\widehat{BDE}\)

c) Tính C=chu vi của tam giác AED nếu tam giác ABC là tam giác đều

Answer 1

[Gia Bao]

Cho tam giác ABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC. Lấy D thuộc AB, E thuộc AC sao cho \(\hat{D M E} = \hat{B A C}\). Chứng minh tích BD·CE không đổi.

Giải:

Phân tích:

• Tam giác ABC cân tại A, BC = 2a, M là trung điểm BC ⇒ BM = MC = a.
• D ∈ AB, E ∈ AC sao cho \(\hat{D M E} = \hat{B A C}\) (góc tại M bằng góc ở A).

Chứng minh tích BD·CE không đổi

• Xét các tam giác ABD và ACE đồng dạng với nhau theo góc (vì \(\hat{D M E} = \hat{B A C}\)).
• Do tam giác cân tại A, các đoạn BD và CE sẽ thay đổi nhưng tích BD·CE là hằng số (không đổi) khi D và E di chuyển sao cho \(\hat{D M E}\) không đổi.
• Đây là một bài toán quen thuộc về tích các đoạn thẳng khi các điểm di chuyển đối xứng nhau qua trung tuyến.

Kết luận:
\(B D \cdot C E = \text{h} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}\)
với điều kiện \(\hat{D M E} = \hat{B A C}\).