Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chỉ biết phân tích mù mịt cho đẹp thôi chứ không biết đúng hay sai?
Ta có \(L=\left(3-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right):\left(5-\frac{3b}{a}+\left(\frac{b}{a}\right)^2\right)\)(chia cả tử và mẫu cho a2 khác 0)
Theo hệ thức Vi - et, \(L=\frac{3+\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}{5+3\left(x_1+x_2\right)+\left(x_1+x_2\right)^2}\)
Theo giả thiết \(0\le x_1\le x_2\le2\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1^2\le x_1x_2\\x_2^2\le4\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2\le x_1x_2+4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2\le3x_1x_2+4\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4\le3x_1x_2\Leftrightarrow\left(x_1+x_2+2\right)\left(x_1+x_2-2\right)\le3x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2+5\right)\left(x_1+x_2-2\right)-3\left(x_1+x_2-2\right)\le3x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2+5\right)\left(x_1+x_2-2\right)\le3\left(x_1x_2+x_1+x_2-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+3\left(x_1+x_2\right)-10\le3\left(x_1x_2+x_1+x_2-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+3\left(x_1+x_2\right)+5\le3\left(x_1x_2+x_1+x_2+3\right)\)
Vì \(\left(x_1+x_2\right)^2+3\left(x_1+x_2\right)+5>0\)nên
\(L=\frac{3+\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}{5+3\left(x_1+x_2\right)+\left(x_1+x_2\right)^2}\ge\frac{1}{3}\)
Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}x_1=0\\x_2=2\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x_1=2\\x_2=2\end{cases}}\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0,\forall m\inℝ\)
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1+x_2\).
Theo định lí Viete:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{cases}}\)
\(P=\left|\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\left|x_1-x_2\right|}=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}}\)
\(=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-3\right)}}=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{4m^2+16}}=\frac{\left|m+1\right|}{\sqrt{m^2+4}}\ge0\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(m=-1\).
\(x^2-2\left(m+1\right)x+3\left(m+1\right)-3=0\)
\(x^2-2nx+3n+3=\left(x-n\right)^2-\left(n^2-3n+3\right)=0\)\(\left(x-n\right)^2=\left(n-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}>0\forall n\) vậy luôn tồn tại hai nghiệm
\(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{n-\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\\x_2=\frac{n+\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\end{cases}}\)
a) \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{4x_1-x_2}{x_1}\Leftrightarrow\frac{x_1^2-4x_1x_2+x_2^2}{x_1x_2}=0\)
\(x_1x_2=n^2-\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}=\frac{4n^2-4n^2+12n-9-3}{4}=3n-3\)
với n=1 hay m=0 : Biểu thức cần C/m không tồn tại => xem lại đề
- Hệ thức Viète:
\(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} , x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .\)
Điều kiện:
\(0 \leq x_{1} , x_{2} \leq 1.\) - Biểu thức P:
Ta rút gọn:
\(P = \frac{\left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. 2 a - c \left.\right)}{a \left(\right. a - b + c \left.\right)} .\)
Thay \(b = - a \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) , \textrm{ } c = a x_{1} x_{2}\):
\(P = \frac{\left(\right. a + a \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) \left.\right) \left(\right. 2 a - a x_{1} x_{2} \left.\right)}{a \left(\right. a + a \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + a x_{1} x_{2} \left.\right)} .\)
Rút gọn \(a\):
\(P = \frac{\left(\right. 1 + x_{1} + x_{2} \left.\right) \left(\right. 2 - x_{1} x_{2} \left.\right)}{2 + x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}} .\) - Bài toán trở thành:
\(P \left(\right. x_{1} , x_{2} \left.\right) = \frac{\left(\right. 1 + x_{1} + x_{2} \left.\right) \left(\right. 2 - x_{1} x_{2} \left.\right)}{2 + x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}} , 0 \leq x_{1} , x_{2} \leq 1.\) - Xét giá trị biên:
- Nếu \(x_{1} = 0\):
\(P = \frac{\left(\right. 1 + x_{2} \left.\right) \left(\right. 2 - 0 \left.\right)}{2 + x_{2} + 0} = \frac{2 \left(\right. 1 + x_{2} \left.\right)}{2 + x_{2}} .\)
Với \(x_{2} \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\): - \(x_{2} = 0 \Rightarrow P = 1\)
- \(x_{2} = 1 \Rightarrow P = \frac{4}{3} .\)
⇒ Trên cạnh này: \(1 \leq P \leq \frac{4}{3}\).
- Nếu \(x_{1} = 1\):
\(P = \frac{\left(\right. 2 + x_{2} \left.\right) \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right)}{3 + x_{2}} .\)
Với \(x_{2} \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\): - \(x_{2} = 0 \Rightarrow P = \frac{4}{3}\).
- \(x_{2} = 1 \Rightarrow P = \frac{3}{4} .\)
⇒ Trên cạnh này: \(\frac{3}{4} \leq P \leq \frac{4}{3} .\)
- Tương tự đối xứng cho các cạnh còn lại.
- Nếu \(x_{1} = 0\):
- Tại các đỉnh:
- \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right) : P = 1\).
- \(\left(\right. 1 , 0 \left.\right) : P = \frac{4}{3}\).
- \(\left(\right. 0 , 1 \left.\right) : P = \frac{4}{3}\).
- \(\left(\right. 1 , 1 \left.\right) : P = \frac{3}{4}\).
- Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là:
\(\boxed{\frac{3}{4}}\)
Áp dụng định lí viet: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
\(ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1.x_2\right)=a\left[\left(x^2-x_1.x\right)-\left(x_2x-x_1x_2\right)\right]\)
=\(a\left[x\left(x-x_1\right)-x_2\left(x-x_1\right)\right]=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)