Question

[Ánh Dương]

Cho (P): y=x\(^2\), (d):y=mx+2

a) Cmr: với mọi m (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B nằm ở hai phía của trục Oy

b) Gọi C là giao điểm của (d) với trục tung. Tìm m để \(S_{OAC}=2S_{OBC}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Giao trục tung thì x=0, còn C thuộc (d) thì tất nhiên nó phải thỏa mãn y=mx+2 rồi

Ánh Dương

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2=mx+2\Leftrightarrow x^2-mx-2=0\) (1)

Do \(ac=-2< 0\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có 2 nghiệm trái dấu

\(\Rightarrow\) d luôn cắt (P) tại 2 điểm pb nằm về 2 phía trục tung với mọi m

Tọa độ C thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}y=mx+2\\x=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(0;2\right)\)

Từ O hạ OH vuông góc AB \(\Rightarrow\) OH là đường cao chung của \(\Delta OAC\) và \(\Delta OBC\)

\(S_{OAC}=2S_{OBC}\Leftrightarrow\frac{1}{2}OH.AC=2.\frac{1}{2}.OH.BC\Rightarrow AC=2BC\)

\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_C\right)^2+\left(y_A-y_C\right)^2=4\left(x_B-x_C\right)^2+4\left(y_B-y_C\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x_A^2+\left(mx_A+2-2\right)^2=4x_B^2+4\left(mx_B+2-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2+1\right)x_A^2=4\left(m^2+1\right)x_B^2\)

\(\Leftrightarrow x^2_A=4x_B^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_A=2x_B\left(loại\right)\\x_A=-2x_B\end{matrix}\right.\) (loại do \(x_A;x_B\) trái dấu)

Kết hợp Viet ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=m\\x_A=-2x_B\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x_B=m\\x_A=-2x_B\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=2m\\x_B=-m\end{matrix}\right.\)

Mà \(x_Ax_B=-2\Rightarrow-2m^2=-2\Rightarrow m=\pm1\)