Question

[Thanh Thuy Thanh]

cho P =1-1/2 +1/3 -1/4 + .... +1/2023-1/2024 Q=1/1013 + 1/1014+ 1/1015 ..... +1/2024 so sánh P và Q

Answer 1

[Kim Đức Cương]

msc của 15 và 17

Answer 2

[NGUYỄN THỊ THU HẰNG]

P =1−21​+31​−41​+⋯+20231​−20241​ \(Q = \frac{1}{1013} + \frac{1}{1014} + \hdots + \frac{1}{2024}\)

Bước 1: Xét tổng P

Tổng \(P\) có dạng một chuỗi luân phiên (các số hạng dương và âm xen kẽ), có thể được viết lại dưới dạng:

\(P = \left(\right. 1 - \frac{1}{2} \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \left.\right) + \hdots + \left(\right. \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024} \left.\right)\)

Mỗi cặp số hạng có dạng:

\(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} = \frac{k + 1 - k}{k \left(\right. k + 1 \left.\right)} = \frac{1}{k \left(\right. k + 1 \left.\right)}\)

Vậy tổng của tất cả các cặp từ 1 đến 2023 là:

\(P = \sum_{k = 1}^{2023} \frac{1}{k} - \sum_{k = 1}^{2023} \frac{1}{k + 1}\)

Tổng này gần giống với tổng điều hòa \(H_{n}\) (mà \(H_{n} sim ln ⁡ n\)), và có thể xấp xỉ:

\(P \approx ln ⁡ 2024 - ln ⁡ 2 = ln ⁡ \frac{2024}{2} = ln ⁡ 1012\)

Bước 2: Xét tổng Q

Tổng \(Q\) là một phần của tổng điều hòa từ 1013 đến 2024:

\(Q = \sum_{k = 1013}^{2024} \frac{1}{k}\)

Xấp xỉ tổng điều hòa:

\(Q \approx ln ⁡ 2024 - ln ⁡ 1012 = ln ⁡ \frac{2024}{1012} = ln ⁡ 2\)

Bước 3: So sánh P và Q

Từ các kết quả trên, ta thấy:

\(P \approx ln ⁡ 1012 , Q \approx ln ⁡ 2\)

Vì \(ln ⁡ 1012\) lớn hơn \(ln ⁡ 2\) rất nhiều (\(ln ⁡ 1012 \approx 7\), trong khi \(ln ⁡ 2 \approx 0.693\)), ta có:

\(P > Q\)

Kết luận:

\(P > Q\) 4o