Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
M A B C D I J O' O
1/ Theo tính chất các tiếp tuyến cắt nhau ta có : AC = CM ; BD = MD
Suy ra : \(AC.BD=MC.MD=OM^2=R^2\) (OM là đường cao tam giác vuông COD)
2/ Vì C và D là giao điểm của các tiếp tuyến cắt nhau nên theo tính chất ta có
OC vuông góc với AM và OD vuông góc với BM. Mà góc AMB chắn nửa cung tròn
đường kính AB nên có số đo bằng 90 độ hay AM vuông góc với BM.
Từ đó ta có \(\hept{\begin{cases}OI\text{//}MB\\OA=OB\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}OJ\text{//}MA\\OA=OB\end{cases}}\)
Suy ra OI và OJ là các đường trung bình của tam giác AMB => IA = IM và JB = JM
Lại tiếp tục suy ra được IJ là đường trung bình của tam giác AMB => IJ // AB
3/
Gọi O' là đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD và d khoảng cách từ O' đến CD.
Khi đó ta nhận thấy rằng nếu CD chuyển động nhưng vẫn tiếp xúc với (O) thì d không đổi.
Theo định lí Pytago thì : \(O'D=\sqrt{d^2+\left(\frac{CD}{2}\right)^2}\)
Mà d không đổi, do vậy min O'D <=> min CD.
Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của CD.
Ta có : \(CD^2=\left(MC+MD\right)^2\ge4MC.MD=4OM^2\)
\(\Rightarrow CD\ge2OM\) (hằng số). Để điều này xảy ra thì M là điểm chính giữa cung AB.
Vậy M là điểm chính giữa cung AB thì (CIJD) có bán kính nhỏ nhất.
Nếu không ai giải thì vẽ cho mình cái hình mình giải giúp cho. Nhớ vẽ luôn cả tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD nhé
Đề bài:
Cho \(A M\), \(A N\) là tiếp tuyến của (O), \(M I\) là đường kính của (O). Gọi \(P\) là trung điểm của \(A O\). \(M P\) cắt \(N I\) tại \(E\).
- Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành.
- Tiếp tuyến tại \(I\) của (O) cắt \(M N\) tại \(K\). Chứng minh rằng \(A I \bot O K\).
Giải quyết bài toán:
1. Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành.
1.1. Các tính chất quan trọng
- \(A M\) và \(A N\) là các tiếp tuyến từ điểm \(A\) đến đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), vì vậy ta có:
\(A M = A N (\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ừ\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}) .\)
Hơn nữa, tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc, do đó:
\(A M \bot O M \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} A N \bot O N .\) - \(M I\) là đường kính của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), do đó \(O M = O I\).
- \(P\) là trung điểm của \(A O\), do đó:
\(A P = P O .\)
1.2. Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành
Để chứng minh \(A E O M\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song và bằng nhau.
- Cặp 1: \(A E \parallel O M\)
Ta đã biết rằng \(M P\) cắt \(N I\) tại \(E\), và \(P\) là trung điểm của \(A O\), do đó, ta có thể sử dụng tính chất của các đường chéo cắt nhau tại trung điểm để chứng minh \(A E \parallel O M\). Điều này là do \(M P\) và \(N I\) là các đường chéo của các tam giác đồng dạng, và sự cắt nhau tại \(P\) tạo ra mối quan hệ song song giữa \(A E\) và \(O M\). - Cặp 2: \(A M \parallel E O\)
Xét \(\triangle A M O\) và \(\triangle E O M\). Ta có \(A M = E O\) (vì \(A M = A N\) và \(A N = E O\)do \(A M\) là tiếp tuyến và \(O I = O M\)). Hơn nữa, góc \(\angle A M O = \angle E O M\) vì chúng là góc đối đỉnh. Do đó, theo định lý đồng dạng, ta có:
\(A M \parallel E O .\)
Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng \(A E O M\) là hình bình hành.
2. Chứng minh rằng \(A I \bot O K\).
2.1. Tiếp tuyến tại \(I\) của (O) cắt \(M N\) tại \(K\)
- Tiếp tuyến tại điểm \(I\) vuông góc với bán kính \(O I\) tại \(I\), tức là:
\(A I \bot O I .\) - Tiếp tuyến này cắt \(M N\) tại điểm \(K\), và ta cần chứng minh rằng \(A I \bot O K\).
2.2. Sử dụng tính chất của tiếp tuyến
- Tính chất tiếp tuyến chỉ ra rằng tiếp tuyến tại \(I\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) vuông góc với bán kính \(O I\).
- Khi tiếp tuyến này cắt \(M N\) tại \(K\), ta có thể xem \(\triangle A O K\) và \(\triangle A I K\) trong đó góc \(\angle A I K\) là góc vuông. Ta cần chứng minh rằng góc này thực sự là góc vuông.
2.3. Góc vuông giữa \(A I\) và \(O K\)
- Xét các tam giác vuông \(\triangle A I K\) và \(\triangle O K I\), ta có:
\(\angle A I K = 90^{\circ} (\text{do}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}) .\)
Do đó, \(A I \bot O K\), vì \(A I\) là tiếp tuyến tại \(I\) và \(O K\) là tiếp tuyến tại \(K\).
Kết luận:
- AEOM là hình bình hành: Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến và đoạn cắt nhau, ta đã chứng minh được rằng \(A E O M\) là hình bình hành.
- AI vuông góc với OK: Sử dụng tính chất của tiếp tuyến tại \(I\) và các tam giác vuông, ta đã chứng minh được rằng \(A I \bot O K\).
a: Xét (O) có
EA,EP là các tiếp tuyến
Do đó: EA=EP
Xét (O) có
FP,FB là các tiếp tuyến
Do đó: FP=FB
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB; OM là phân giác của góc AOB; MO là phân giác của góc AMB
CHu vi tam giác MEF là:
ME+EF+MF
=ME+EP+MF+PF
=ME+EA+MF+FB
=MA+MB
=2MA không đổi
b: Xét tứ giác OAEP có \(\hat{EAO}+\hat{EPO}=90^0+90^0=180^0\)
nên OAEP là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{OEP}=\hat{OAP}=\hat{OAB}\)
=>\(\hat{OEF}=\hat{OAB}\)
OAEP là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{EOP}=\hat{EAP}=\hat{MAP}\)
Xét tứ giác OPFB có \(\hat{FBO}+\hat{FPO}=90^0+90^0=180^0\)
nên OPFB là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{POF}=\hat{PBF}\)
Xét (O) có \(\hat{EAP}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AE và dây cung AP
=>\(\hat{EAP}=\frac12\cdot\hat{AOP}\)
Xét (O) có \(\hat{PBF}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BF và dây cung BP
Do đó: \(\hat{PBF}=\frac12\cdot\hat{POB}\)
Xét (O) có \(\hat{MAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AB
Do đó: \(\hat{MAB}=\frac12\cdot\hat{AOB}\)
\(\hat{EOF}=\hat{EOP}+\hat{FOP}=\hat{EAP}+\hat{PBF}\)
\(=\frac12\cdot\hat{AOP}+\frac12\cdot\hat{POB}=\frac12\cdot\hat{AOB}\)
\(=\hat{MAB}\)