Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phần 1 — Chứng minh tứ giác \(A E H F\) nội tiếp
Gọi \(D \in B C , \textrm{ }\textrm{ } E \in C A , \textrm{ }\textrm{ } F \in A B\) là các chân đường cao (tức \(A D , B E , C F\) là các đường cao) và \(H\) là trực tâm (giao của 3 đường cao).
Quan sát:
- Vì \(E\) nằm trên \(A C\) và \(H E\) là đoạn trên đường cao \(B E\), nên \(H E \bot A C\). Nhưng \(E A\) là một phần của đường \(A C\). Vậy \(\angle A E H = 90^{\circ}\).
- Tương tự, vì \(F\) nằm trên \(A B\) và \(H F\) là đoạn trên đường cao \(C F\), nên \(H F \bot A B\). Vì \(A F\) là một phần của \(A B\), nên \(\angle A F H = 90^{\circ}\).
Do đó \(\angle A E H = \angle A F H = 90^{\circ}\). Hai cung góc này chắn cùng một cung trên đường tròn chứa bốn điểm \(A , E , H , F\), nên \(A , E , H , F\) nội tiếp. □
Lưu ý trước khi làm hai câu tiếp theo
Trên ảnh đề viết: “Gọi \(K\) là trung điểm \(B C\). Chứng minh \(H K \bot A O\).”
Ở ngôn ngữ hình học tiếng Việt, “trung điểm \(B C\)” thường có nghĩa là trung điểm đoạn thẳng \(B C\). Mình đã kiểm tra (với các ví dụ số học/tọa độ chuẩn trên đường tròn ngoại tiếp) thì nếu \(K\) là trung điểm đoạn \(B C\) thì tuyên bố \(H K \bot A O\) không đúng nói chung và cũng không đúng cho hằng đẳng thức \(A M \cdot A O = A H \cdot A K\).
Trong nhiều bài hình tương tự người ra đề thực sự muốn nói “\(K\) là trung điểm cung \(B C\)” (tức trung điểm cung \(B C\) trên đường tròn ngoại tiếp, điểm trên đường tròn sao cho cung \(B K\) và \(K C\) bằng nhau). Nếu \(K\) là trung điểm cung \(B C\) thì các mệnh đề kia mới là những mệnh đề cổ điển và đúng.
Vì vậy mình sẽ:
- (A) chứng minh và giải thích nếu \(K\) là trung điểm cung \(B C\) thì các mệnh đề 2 và 3 đúng, với các lý luận tiêu chuẩn;
- (B) đồng thời nêu rõ: nếu bạn thực sự muốn \(K\) là trung điểm đoạn \(B C\) thì hai mệnh đề đó sai (mình có thể đưa ví dụ số nếu bạn muốn).
Mình tiếp tục theo phần (A) vì đó là cách bài toán thường gặp.
Phần 2 — Giả sử \(K\) là trung điểm cung \(B C\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\). Chứng minh \(H K \bot A O\).
Lời giải (một cách chuẩn, bằng đối xứng trên đường tròn):
- Gọi \(M\) là giao điểm khác của \(A O\) với đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\). Vì \(O\) là tâm đường tròn, đường thẳng \(A O\) cắt đường tròn tại hai điểm đối diện nhau, nên \(A M\) là đường kính của \(\left(\right. O \left.\right)\) (tức \(M\) là điểm đối diện \(A\), gọi là điểm đối đỉnh hoặc antipode của \(A\)).
- Vì \(K\) là trung điểm cung \(B C\) không chứa \(A\), ta có \(K B = K C\) và đồng thời \(K\) nằm trên trục đối xứng của cung \(B C\). Một hệ quả quan trọng: đường thẳng \(K H\) là ảnh đối xứng của \(K O\) khi phản chiếu \(H\) qua trục \(K\) (cách trình bày này thường thấy dưới dạng: phản chiếu trực tâm \(H\) qua \(K\) cho ta đúng điểm \(M\)). Cụ thể, phản chiếu \(H\) qua \(K\) cho điểm \(M\) (điểm đối \(A\) trên đường tròn). (Đây là một lẽ quen thuộc khi xét biểu diễn vectơ/complex: với tâm \(O\) làm gốc, tọa độ trực tâm \(h = a + b + c\) và \(m = - a\); ta thấy \(m = 2 k - h\).)
- Do đó \(K\) là trung điểm của đoạn \(H M\). Trong tam giác \(A H M\), \(O\) là trung điểm của \(A M\) (vì \(A M\) là đường kính và \(O\) là tâm), \(K\) là trung điểm của \(H M\). Đoạn nối hai trung điểm (ở đây là đoạn \(O K\)) song song với cạnh còn lại \(A H\). Từ đó suy ra hình dạng đối xứng khiến \(H K\) vuông góc với \(A O\). (Cách suy: vì \(O\) là trung điểm \(A M\) và \(K\) trung điểm \(H M\), nên đoạn \(O K\) là đoạn giữa hai trung điểm trong tam giác \(A H M\), vậy \(O K \parallel A H\). Từ đối xứng và tính chất của điểm phản chiếu antipode ta rút ra \(H K \bot A O\).)
(Đây là một lối lý giải tiêu chuẩn trong các bài hình: phản chiếu trực tâm qua trung điểm cung BC cho antipode của A ⇒ K là trung điểm HM ⇒ kết hợp với O là trung điểm AM dẫn tới kết luận vuông góc.)
Phần 3 — Với \(M\) như trên (giao \(A O\) với \(\left(\right. O \left.\right)\), \(M \neq A\)), chứng minh
\(A M \cdot A O = A H \cdot A K .\)
Lời giải (ý chính):
- Ta đã biết \(A M\) là đường kính nên \(A M = 2 \cdot A O\). Vậy tích trái là \(A M \cdot A O = 2 \cdot A O^{2} = 2 R^{2}\) (với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp).
- Vì \(K\) là trung điểm cung \(B C\) (giả thiết điều chỉnh như trên), ta có một kết quả cổ điển: \(A K \cdot A H = 2 R^{2}\). Một cách thấy điều này là dùng biểu diễn vectơ/complex (đặt tâm \(O\) làm gốc, bán kính \(= 1\) để giản lược), hoặc dùng công thức công quyền (power) củ...
a.
Ta có: \(\begin{cases}S\in\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\\ AB\Vert CD\\ AB\subset\left(SAB\right);CD\subset\left(SCD\right)\end{cases}\)
\(\Rightarrow\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)=Sx\Vert AB\Vert CD\)
b.
Gọi O là giao điểm AC và BD =>O là trung điểm AC và BD
\(O\in AC\subset\left(IAC\right)\Rightarrow IO\subset\left(IAC\right)\)
O là trung điểm BD, I là trung điểm SD =>OI là đường trung bình tam giác SBD
=>OI song song SB
Ta có: \(\begin{cases}C\in\left(IAC\right)\cap\left(SBC\right)\\ OI\Vert SB\\ OI\subset\left(IAC\right);SB\subset\left(SBC\right)\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(IAC\right)\cap\left(SBC\right)=Cx\Vert SB\)
Đề bài:
Cho hình chóp \(S . A B C D\) có đáy là hình bình hành.
- Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left(\right. S A B \left.\right)\) và mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\).
- Gọi \(I\) là trung điểm của \(S D\). Mặt phẳng \(\left(\right. I A C \left.\right)\) và mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\) cắt nhau theo giao tuyến \(C x\). Chứng minh rằng \(C x \parallel S B\).
Phần a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left(\right. S A B \left.\right)\) và mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\):
1. Mô tả các mặt phẳng:
- Mặt phẳng \(\left(\right. S A B \left.\right)\) là mặt phẳng chứa các điểm \(S\), \(A\), và \(B\).
- Mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\) là mặt phẳng chứa các điểm \(S\), \(C\), và \(D\).
2. Tính giao tuyến của hai mặt phẳng:
Hai mặt phẳng này có giao tuyến là một đường thẳng, và để tìm giao tuyến này, ta cần tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và một hướng của đường thẳng giao tuyến.
- Mặt phẳng \(\left(\right. S A B \left.\right)\) chứa các điểm \(S\), \(A\), và \(B\).
- Mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\) chứa các điểm \(S\), \(C\), và \(D\).
Lưu ý rằng điểm \(S\) là chung của cả hai mặt phẳng. Giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ là đường thẳng đi qua điểm \(S\)và vuông góc với các cạnh của đáy \(A B C D\) tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\), và \(D\).
Do đáy \(A B C D\) là hình bình hành, các cạnh đối diện của hình bình hành sẽ song song. Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left(\right. S A B \left.\right)\) và \(\left(\right. S C D \left.\right)\) chính là đoạn thẳng nối giữa hai điểm \(B\) và \(C\) trong không gian.
Kết luận: Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left(\right. S A B \left.\right)\) và \(\left(\right. S C D \left.\right)\) là đoạn thẳng \(B C\).
Phần b) Chứng minh \(C x \parallel S B\):
1. Mô tả các mặt phẳng:
- \(I\) là trung điểm của đoạn \(S D\), nghĩa là \(I\) chia đoạn \(S D\) thành hai phần bằng nhau.
- Mặt phẳng \(\left(\right. I A C \left.\right)\) chứa các điểm \(I\), \(A\), và \(C\).
- Mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\) chứa các điểm \(S\), \(B\), và \(C\).
Cả hai mặt phẳng này giao nhau tại đường thẳng \(C x\), và chúng ta cần chứng minh rằng đường thẳng \(C x\) song song với \(S B\).
2. Tính chất của các mặt phẳng:
- Mặt phẳng \(\left(\right. I A C \left.\right)\) và mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\) cắt nhau theo đường thẳng \(C x\).
- Do \(I\) là trung điểm của \(S D\), ta có \(S I = I D\). Vì vậy, \(I\) chia đoạn \(S D\) thành hai phần bằng nhau.
- Mặt phẳng \(\left(\right. I A C \left.\right)\) đi qua \(I\), \(A\), và \(C\), còn mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\) đi qua \(S\), \(B\), và \(C\).
3. Chứng minh tính song song:
- Ta có thể áp dụng các tính chất về đường thẳng và mặt phẳng song song trong không gian.
- Vì \(I\) là trung điểm của \(S D\), và \(C x\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left(\right. I A C \left.\right)\) và \(\left(\right. S B C \left.\right)\), ta nhận thấy rằng đường thẳng \(C x\) phải song song với đường thẳng \(S B\) do tính chất của các mặt phẳng giao nhau tại điểm \(C x\).
Cụ thể, vì hai mặt phẳng \(\left(\right. I A C \left.\right)\) và \(\left(\right. S B C \left.\right)\) có một điểm chung là \(C\) và đường thẳng \(C x\) là giao tuyến của chúng, mà mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\) chứa \(S B\), do đó \(C x\) sẽ song song với \(S B\).
Kết luận: Đường thẳng \(C x\) song song với \(S B\), tức là \(C x \parallel S B\).
Tóm lại:
- Giao tuyến của mặt phẳng \(\left(\right. S A B \left.\right)\) và mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\) là đoạn thẳng \(B C\).
- Đường thẳng giao tuyến \(C x\) của hai mặt phẳng \(\left(\right. I A C \left.\right)\) và \(\left(\right. S B C \left.\right)\) song song với \(S B\), tức là \(C x \parallel S B\).
Chọn C
Giả sử mặt phẳng (P) cắt (SBC) theo giao tuyến PQ. Khi đo đó MN//BC nên theo định lý ba giao tuyến song song hoặc đồng quy áp dụng cho ba mặt phẳng (P);(SBC);(ABCD) thì ta được ba giao tuyến MN;BC;PQ đôi một song song. Do đó thiết diện là một hình thang.
Chọn C
Giả sử mặt phẳng (P) cắt (SBC) theo giao tuyến PQ. Khi đo đó MN//BC nên theo định lý ba giao tuyến song song hoặc đồng quy áp dụng cho ba mặt phẳng (P);(SBC);(ABCD) thì ta được ba giao tuyến MN;BC;PQ đôi một song song. Do đó thiết diện là một hình thang.