Question

[piojoi]

cho hình bình hành abcd; \(\hat{D}=\alpha<90^0;\) vẽ \(BH\bot CD;BK\bot AD\)

tính diện tích tứ giác KBHD biết AB=6cm, AD=4cm; \(\alpha=60^0\)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

ABCD là hình bình hành

=>AB=CD

=>CD=6(cm)

Diện tích tam giác ADC là:

\(S_{ADC}=\frac12\cdot DA\cdot DC\cdot\sin ADC=\frac12\cdot4\cdot6\cdot\sin60=2\cdot6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

ABCD là hình bình hành

=>\(S_{ABCD}=2\cdot S_{ADC}=2\cdot6\sqrt3=12\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: \(\hat{KAB}+\hat{BAD}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{BAD}+\hat{ADC}=180^0\) (ABCD là hình bình hành)

Do đó: \(\hat{KAB}=\hat{ADC}=60^0\)

Xét ΔKAB vuông tại K có \(\sin KAB=\frac{KB}{AB}\)

=>\(\frac{KB}{6}=\sin60=\frac{\sqrt3}{2}\)

=>\(KB=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔKAB vuông tại K

=>\(KA^2+KB^2=AB^2\)

=>\(KA^2=6^2-\left(3\sqrt3\right)^2=36-27=9=3^2\)

=>KA=3(cm)

Diện tích tam giác KAB là:

\(S_{KAB}=\frac12\cdot KA\cdot KB=\frac12\cdot3\cdot3\sqrt3=\frac{9\sqrt3}{2}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Ta có: BC//AD

=>\(\hat{HCB}=\hat{ADC}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{HCB}=60^0\)

Xét ΔHBC vuông tại H có \(\sin HCB=\frac{HB}{BC}\)

=>\(\frac{HB}{4}=\sin60=\frac{\sqrt3}{2}\)

=>\(HB=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔBHC vuông tại H

=>\(HB^2+HC^2=BC^2\)

=>\(HC^2=4^2-\left(2\sqrt3\right)^2=16-12=4=2^2\)

=>HC=2(cm)

ΔBHC vuông tại H

=>\(S_{HBC}=\frac12\cdot HB\cdot HC=\frac12\cdot2\cdot2\sqrt3=2\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Diện tích tứ giác KBHD là:

\(S_{KBHD}=S_{ABCD}+S_{BAK}+S_{BCH}\)

\(=12\sqrt3+\frac{9\sqrt3}{2}+2\sqrt3=14\sqrt3+4,5\sqrt3=18,5\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)