Question

[Nguyễn Gia Hiếu]

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi K là điểm nằm giữa A và O; H là trung điểm của KA, I là trung điểm của KB. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H, dây CB cắt đường tròn (I) đường kính KB tại E. a) Tứ giác ACKD là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh ba điểm D, K, E thẳng hàng. c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD

Xét tứ giác ACKD có

H là trung điểm chung của AK và CD

=>ACKD là hình bình hành

Hình bình hành ACKD có AK⊥CD
nên ACKD là hình thoi

b: Xét (I) có

ΔKEB nội tiếp

KB là đường kính

Do đó: ΔKEB vuông tại E

=>KE⊥CB

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>CA⊥CB

mà CA//KD(ACKD là hình thoi)

nên KD⊥CB

mà KE⊥CB

và KE,KD có điểm chung là K

nên E,K,D thẳng hàng

c: Xét tứ giác CHKE có \(\hat{CHK}+\hat{CEK}=90^0+90^0=180^0\)

nên CHKE là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{HEK}=\hat{HCK}\)

\(\hat{IEH}=\hat{IEK}+\hat{HEK}\)

\(=\hat{IKE}+\hat{HCK}=\hat{HKD}+\hat{KDH}=90^0\)

=>IE⊥ EH tại E

=>HE là tiếp tuyến tại E của (I)