Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D O
Ta có : \(\begin{cases}AC\perp BD\\BC=CD\end{cases}\)=> AC là đường trung trực của BD
\(\Rightarrow AB=AD\) mà AB không đổi (gt) => AD không đổi mà A cố định
=> D di chuyển trên đường tròn tâm A , bán kính AD
a. Ta có: \(\widehat{ADB}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => \(\widehat{ADE}=90^o\)
Lại có: \(CH\perp AB\)tại H (gt) mà E \(\in CH\)(do E là giao điểm của BD và CH (gt)) => \(\widehat{EHA}=90^o\)
Xét tứ giác ADEH có: \(\widehat{ADE}+\widehat{EHA}=90^o+90^o=180^o\)=> tứ giác ADEH nội tiếp (DHNB) => đpcm
b.
Ta có: \(\widehat{ACB}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) => \(\Delta ABC\)vuông tại C
=> \(S\Delta ABC=\frac{1}{2}AC\times BC=\frac{1}{2}CH\times AB\)=> CH = \(\frac{AC\times BC}{AB}\)
=> \(AC\times AH+CB\times CH=AC\times AH+CB\times\frac{AC\times BC}{AB}\)= \(AC\times(AH+\frac{BC^2}{AB})=AC\times\frac{(AH\times AB+BC^2)}{AB}\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\)vuông tại C với đường cao CH ta được: AH \(\times AB=AC^2\)(2)
Áp dụng định lý pitago trong \(\Delta ABC\)vuông tại C ta được: \(AC^2+BC^2=AB^2\)(3)
Thế (2) và (3) vào (1) ta được : \(AC\times AH+CB\times CH=AB\times AC\)(ĐPCM)
c. Gọi K là điểm chính giữa cung AB (K nằm cùng phía với C so với bờ AB) => K là điểm cố định và \(KO\perp AB\)tại O => KO // CH => \(\widehat{KOC}=\widehat{KOM}=\widehat{HCO}\)(So le trong)
Nối K với M
Xét \(\Delta KOM\)và \(\Delta OCH\)có:
+ KO = OC = R
+ \(\widehat{KOM}=\widehat{HCO}\)(cmt)
+ OM = CH (gt)
=> \(\Delta KOM=\Delta OCH\)(c.g.c) => \(\widehat{KMO}=\widehat{OHC}=90^o\Rightarrow\Delta KOM\)vuông tại M => M \(\in(I,\frac{OK}{2})\)cố định (trong đó I là trung điểm của OK)
a: Gọi I là trung điểm của OA
=>I là tâm đường tròn đường kính OA
Xét (I) có
ΔADO nội tiếp
AO là đường kính
Do đó: ΔADO vuông tại D
Xét tứ giác ADHC có \(\hat{ADC}=\hat{AHC}=90^0\)
nên ADHC là tứ giác nội tiếp
b: ADHC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{ODH}=\hat{OAC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH)
mà \(\hat{OAC}=\hat{OCA}\) (ΔOAC cân tại O)
nên \(\hat{ODH}=\hat{OCA}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AC//DH
Giải phần (a): Chứng minh A, C, D, H đồng viên
- Cách tiếp cận: Ta sẽ sử dụng định lý đường kính của đường tròn, định lý tứ giác nội tiếp và một số tính chất hình học.
- Bước 1: Tính chất đường tròn
- Cho đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có đường kính \(A B\), với điểm \(C\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\). Do \(A B\) là đường kính, ta có \(\angle A C B = 90^{\circ}\) (theo định lý góc vuông tại điểm trên đường tròn có đường kính là cạnh huyền).
- Bước 2: Định lý tứ giác nội tiếp
- Vì \(D\) là giao điểm của \(O C\) và đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), ta có \(D\) nằm trên đường tròn. Như vậy, tứ giác \(A C D H\) có các điểm \(A\), \(C\), \(D\), và \(H\) nằm trên một đường tròn.
- Cụ thể, ta có tứ giác \(A C D H\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) vì tổng các góc đối diện trong tứ giác này bằng 180° (theo định lý tứ giác nội tiếp).
Kết luận (a): Tứ giác \(A C D H\) là tứ giác nội tiếp nên các điểm \(A , C , D , H\) đồng viên.
Giải phần (b): Chứng minh \(H D \parallel A C\)
- Cách tiếp cận: Ta sử dụng định lý góc vuông và các tính chất của các đoạn thẳng vuông góc.
- Bước 1: Tính chất của các đoạn vuông góc
- \(C H \bot A B\) tại \(H\), tức là \(C H\) vuông góc với \(A B\), nên ta có \(\angle C H B = 90^{\circ}\).
- Bước 2: Chứng minh góc tương ứng
- Xét tam giác \(A C B\) với \(\angle A C B = 90^{\circ}\), do đó \(A C\) là một cạnh góc vuông của tam giác vuông \(A C B\).
- Xét các góc tại điểm \(D\) trên đường tròn: ta có \(\angle C D A = \angle C B A\) (góc nội tiếp cùng chắn một cung của đường tròn). Vì vậy, \(\angle C D A = \angle C B A\).
- Bước 3: So sánh các góc vuông
- Ta có \(\angle C H B = 90^{\circ}\) (do \(C H \bot A B\)), và \(\angle C D A = \angle C B A\).
- Từ đó suy ra, \(\angle H D C = \angle A C B\), và góc này là một góc vuông.
- Bước 4: Kết luận
- Vì \(\angle H D C = \angle A C B\) và \(\angle C H B = 90^{\circ}\), ta có thể suy ra rằng \(H D \parallel A C\)(theo định lý về góc đồng vị trong các đường thẳng song song).
Kết luận (b): \(H D \parallel A C\).
Tổng kết:
- (a) A, C, D, H đồng viên vì tứ giác \(A C D H\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.
- (b) \(H D \parallel A C\) do các
Hướng dẫn làm bài:
Giả sử, gọi cạnh hình vuông là a và bán kính đường tròn là R.
Khi đó, chu vi hình vuông là 4a và chu vi hình tròn là 2πR.
Theo đề bài ra ta có: 4a=2πR⇒a=πR24a=2πR⇒a=πR2
Ta lập tỉ số diện tích hình vuông và hình tròn:
ShvShtr=a2πR2=(πR22)πR2=π2R24πR2=π4<1ShvShtr=a2πR2=(πR22)πR2=π2R24πR2=π4<1 (vì π ≈ 3,14)
⇒ Shv < Shtr
Vậy hình tròn có diện tích lớn hơn hình vuông
Hướng dẫn làm bài:
Ta có ˆA=12sđcungBC=600;ˆBDC=12.600=300A^=12sđcungBC=600;BDC^=12.600=300
Như vậy, điểm D tạo với hai mút của đoạn thẳng BC cố định một góc ˆBDC=300BDC^=300 nên D chuyển động trên cung chứa góc 30° dựng trên BC.
Ta có, khi A ≡ B thì D ≡ E và khi A ≡ C thì D ≡ C
Vậy khi A di chuyển trên cung lớn BC thì D di chuyển trên cung CE thuộc cung chưa góc 30° dựng trên BC
Bài 1:
a: Xét ΔABO và ΔACO có
AB=AC
BO=CO
AO chung
Do đó: ΔABO=ΔACO
Suy ra: \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^0\)
hay AC là tiếp tuyến của (O)
b: Xét (O) có
OI là một phần đường kính
CE là dây
OI⊥CE tại I
Do đó: I là trung điểm của CE
Xét ΔDCE có
DI là đường cao
DI là đường trung tuyến
Do đó: ΔDCE cân tại D
Xét ΔOED và ΔOCD có
OE=OC
ED=CD
OD chung
Do đó: ΔOED=ΔOCD
Suy ra: \(\widehat{OED}=\widehat{OCD}=90^0\)
hay DE là tiếp tuyến của (O)
a, Gọi EF là đường kính O ; A B 2 sao cho EF ⊥ AB
Xét trường hợp C chạy trên nửa đường tròn EBF
Chứng minh: ∆OMB = ∆OHC (c.g.c)
=> O M B ^ = O H C ^ = 90 0
Vậy M chạy trên đường tròn đường kính OB
Chứng minh tương tự khi C chạy trên nửa đường tròn EAF, ta được M chạy trên đường tròn đường kính OA
b, Chứng minh ∆ADB cân tại A => AD=AB nên D chạy trên (A;AB)