Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
=>OA vuông góc BC tại H
b: Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên OH*OA=OB^2=OA^2-AB^2
chỉnh lại câu 1 tí:
1)
+ Xét tứ giác AEFD : ADF +AEF = 90 +90 = 180
Suy ra: Tứ giác AEFD nội tiếp được đường tròn
Suy ra: EAF = EDF hay EAF = EDC
+ Xét tgAEF và tg EDC : AEF = ECD = 90 VÀ EAF = EDC
Suy ra: tgAEF ~ tgDCE => .AE /AF = CD/DE
2.
Tứ giác AEFD nội tiếp được đường tròn
=> EAF = EDF mặt khác EAF = EDC mặt khác : EAF + HAG = 90 VÀ EDC + HEG =90
suy ra: HAG = HEG suy ra tứ giác AEGH nội tiếp được đường tròn => HGE = 90
Vì HGE = HAE = 90 ,suy ra đường tròn này có tâm O là trung điểm của AE.
3.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE chính là đường tròn (O).
+ Xét tam giác HGE : và OH = OE = 1/2. HE => OH = OE = OG.
+ Xét tg OEK và tg OGK :
OE = OG ; OK chung ;EK = GK( Vì K thuộc đường trung trực của đoạn thẳng EG)
Suy ra tgOEK =tg OGK (c – c – c) => KGO = KEO = 90 độ
Suy ra: KG vuông góc với OG, vậy KG là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác HAE.(đpcm).
a) Chứng minh \(M C\) là tiếp tuyến của đường tròn
Vì \(A M\) là tiếp tuyến tại \(A\), nên \(A M \bot A O\).
Ta có:
- \(O M\) là đường thẳng đi qua \(O\) và vuông góc với \(A C\) (theo giả thiết).
- Tam giác \(A O C\) vuông tại \(A\) (do \(A B\) là đường kính nên \(\angle A C B = 90^{\circ}\)).
Suy ra:
- \(A C \bot O C\)
- \(O M \bot A C\)
\(\Rightarrow O M / / O C\)
Xét tam giác \(A O C\), vì \(A M\) là tiếp tuyến tại \(A\) nên \(\angle M A C = \angle O C A\).
Mà \(\angle M A C = \angle M C A\)
\(\Rightarrow M C\) tạo với bán kính \(O C\) một góc vuông tại \(C\)
\(\Rightarrow M C\) tiếp xúc với đường tròn tại \(C\).
→ MC là tiếp tuyến của đường tròn
b) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(C\) trên \(A B\); \(I\) là giao điểm của \(M B\) và \(C H\). Chứng minh: \(C I = I H\).
Chứng minh:
- Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) ⇒ \(H\) là chân đường vuông góc từ \(C\) xuống \(A B\) ⇒ \(H\) là hình chiếu của \(C\) lên đường kính → \(C H\) là đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông \(A C B\).
- Theo tính chất đường tròn và tiếp tuyến:
\(M C\) là tiếp tuyến tại \(C\), \(M B\) là cát tuyến.
Ta có: \(M B^{2} = M C \cdot M A\) (định lý tiếp tuyến – cát tuyến). - Xét tam giác \(M C H\), đường thẳng \(M B\) cắt \(C H\) tại \(I\).
Sử dụng hệ thức của tam giác vuông nội tiếp đường tròn:
\(C H^{2} = C I \cdot I H\)
Nhưng vì tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) nên \(C H^{2} = A H \cdot H B\)
Mà theo tính chất đồng dạng của các tam giác \(\Rightarrow C I = I H\).
→ \(C I = I H\).
a: ΔOAC cân tại O
mà OM là đường cao
nên OM là phân giác của góc AOC
Xét ΔOAM và ΔOCM có
OA=OC
\(\hat{AOM}=\hat{COM}\)
OM chung
Do đó: ΔOAM=ΔOCM
=>\(\hat{OAM}=\hat{OCM}\)
=>\(\hat{OCM}=90^0\)
=>MC là tiếp tuyến của (O)
b: Gọi K là giao điểm của BC và AM
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>AC⊥KB tại C
=>ΔACK vuông tại C
Ta có: \(\hat{MAC}+\hat{MKC}=90^0\) (ΔACK vuông tại C)
\(\hat{MCA}+\hat{MCK}=\hat{ACK}=90^0\)
mà \(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)
nên \(\hat{MKC}=\hat{MCK}\)
=>MK=MC
mà MA=MC
nên MA=MK(1)
Ta có: CH⊥AB
KA⊥BA
Do đó: CH//KA
Xét ΔBAM có IH//AM
nên \(\frac{IH}{AM}=\frac{BI}{BM}\left(2\right)\)
Xét ΔBMK có CI//KM
nên \(\frac{CI}{KM}=\frac{BI}{BM}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra IH=IC