Question

[Trần Thị Ngọc Diệp]

Cho \(\Delta ABC\) cân tại A, các đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AH.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi O là trung điểm AH, tam giác AHN vuông tại N nên N thuộc đường tròn đường kính AH

Do ABC cân tại A \(\Rightarrow\) AM là đường cao đồng thời là trung tuyến

\(\Rightarrow\) M là trung điểm BC

Trong tam giác vuông NBC, NM là trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow MN=MB=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow\Delta MNB\) cân tại M

\(\Rightarrow\widehat{MNB}=\widehat{MBN}\) (1)

Tương tự, trong tam giác vuông ANH, ta có: \(ON=OH=\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow\widehat{ONH}=\widehat{OHN}\) 

Mà \(\widehat{OHN}=\widehat{MHB}\) (đối đỉnh)  \(\Rightarrow\widehat{ONH}=\widehat{MHB}\) (2)

Lại có tam giác HBM vuông tại M \(\Rightarrow\widehat{MHB}+\widehat{MBN}=90^0\) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{ONH}+\widehat{MNB}=90^0\) hay \(MN\perp ON\)

\(\Rightarrow MN\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]