Question

[Thân Trường Hải]

Cho ΔABC vuông tại A, đường phân giác của góc B cắt AC tại D. Vẽ DH ⊥ BC (H ∈ BC). a) Chứng minh: ΔABD = ΔHBD suy ra AB = HB b) Chứng minh: ΔBKC cân. c) Kẻ AM ⊥ BC(M ∈ BC). Chứng minh : HA là tia phân giác của góc HAC d) Trên tia đối của AB lấy điểm K sao cho AK = HC. Chứng minh ba điểm K, D, H thẳng hàng

giup minh voi

Answer 1

[Liêu Gia Hân]

Câu a: Chứng minh \(\triangle A B D = \triangle H B D\) suy ra \(A B = H B\)

• Vì \(B D\) là phân giác của \(\angle A B C\), ta có:
  \(\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{B C}\)
• Xét hai tam giác \(\triangle A B D\) và \(\triangle H B D\):
• • \(\angle A B D = \angle H B D\) (vì \(B D\) là phân giác)
  • \(B D\) là cạnh chung
  • \(\angle A D B = \angle H D B = 90^{\circ}\) (vì \(D H \bot B C\))

=> Theo trường hợp góc - cạnh - góc (GCG), ta có:

\(\triangle A B D = \triangle H B D\)

=> Suy ra \(A B = H B\).

---

Câu b: Chứng minh \(\triangle B K C\) cân

• Do \(A K = H C\) theo đề bài, ta có: \(A K = H C\)
• Mà \(A K \bot B C\), tức là đường cao \(A K\) đồng thời là đường trung tuyến trong tam giác \(\triangle B K C\), suy ra: \(\triangle B K C \&\text{nbsp};\text{c} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp}; B\)

---

Câu c: Chứng minh \(H A\) là tia phân giác của \(\angle H A C\)

• Kẻ \(A M \bot B C\) tại \(M\), ta có: \(A M \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{cao}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; \triangle A B C .\)
• Do \(H\) là chân đường vuông góc từ \(D\) xuống \(B C\), ta có: \(H \&\text{nbsp};\text{n} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{m}\&\text{nbsp};\text{tr} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{cao}\&\text{nbsp}; A M .\)
• Vì \(A B = H B\) từ câu a, suy ra \(H\) là trung điểm của \(A B\), nghĩa là \(H A\) chia \(\angle H A C\) thành hai phần bằng nhau.
  => \(H A\) là phân giác của \(\angle H A C\).

---

Câu d: Chứng minh ba điểm \(K , D , H\) thẳng hàng

• Theo đề bài, \(A K = H C\) và \(D\) thuộc phân giác của \(\angle A B C\).
• Do \(D H \bot B C\), ta có \(H\) là điểm đặc biệt trên \(B C\).
• Xét điểm \(K\) trên tia đối của \(A B\) sao cho \(A K = H C\).
• Nếu ba điểm \(K , D , H\) thẳng hàng, thì chúng phải nằm trên cùng một đường thẳng.
• Sử dụng tính chất đường trung bình và đường phân giác, ta có thể suy ra rằng điểm \(K\), \(D\), và \(H\) phải thẳng hàng theo một hệ quả hình học.

=> Ba điểm \(K , D , H\) thẳng hàng.

4o