Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cần cm: \(\left(x^2+2y^2+3z^2\right)\left(a^2+2b^2+3c^2\right)=\left(ax+2by+3cz\right)^2\)
Theo bđt Cauchy-Schwarz:
\(VT=\left(x^2+2y^2+3z^2\right)\left(a^2+2b^2+3c^2\right)\ge\left(ax+\sqrt{2}y.\sqrt{2}b+\sqrt{3}z.\sqrt{3}c\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(ax+2by+3cz\right)^2\)\(=VP\)
Dấu "=" khi \(\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{2}y}{\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{3}z}{\sqrt{3}c}\Leftrightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)
Ta thấy dấu "=" ở đây xảy ra vì từ gt \(\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\)
\(\Rightarrow x=ak;y=bk;z=ck\)
\(\left(x^2+2y^2+3z^2\right)\left(a^2+2b^2+3c^2\right)\)
\(=\left[\left(ak\right)^2+2\left(bk\right)^2+3\left(ck\right)^2\right]\left(a^2+2b^2+3c^2\right)\)
\(=k^2\left(a^2+2b^2+3c^2\right)\left(a^2+2b^2+3c^2\right)\)
\(=k^2\left(a^2+2b^2+3c^2\right)^2\left(1\right)\)
\(\left(ax+2by+3cz\right)^2\)
\(=\left(a.ak+2b.bk+3c.ck\right)^2\)
\(=\left[k\left(a^2+2b^2+3c^2\right)\right]^2\)
\(=k^2\left(a^2+2b^2+3c^2\right)^2\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)và\(\left(2\right)\Rightarrow dpcm\)
1)
Ta có : a^3+b^3+c^3=(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)+3.a.b.c=3.a.b.c
=(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)=0
Ta thấy:a,b,c là số dương nên a+b+c khác 0 suy ra (a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c) =0 nên a=b=c
Vậy a=b=c
Bài 2:
Từ $xyz=1$ suy ra:
\(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=yz+xz+xy\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+xz-x-y-z=0\)
\(\Leftrightarrow (xy-x-y+1)+yz+xz-z-1=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(y-1)+yz+xz-z-xyz=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(y-1)+z(y-1)-xz(y-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (y-1)(x-1+z-xz)=0\)
\(\Leftrightarrow (y-1)[(x-1)-z(x-1)]=0\Leftrightarrow (y-1)(x-1)(1-z)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ y=1\\ z=1\end{matrix}\right.\)
Nếu $x=1\Rightarrow yz=1$
$A=x^{2018}+2019^y-z^x=1+2019^y-z=1+2019^y-\frac{1}{y}$
Nếu $y=1\Rightarrow xz=1$
$A=x^{2018}+2019-z^x=x^{2018}+2019-\frac{1}{x^x}$
Nếu $z=1\Rightarrow xy=1$
$A=\frac{1}{y^{2018}}+2019^y-1$
Tóm lại với đkđb vẫn chưa tính được giá trị cụ thể của $A$
Ta có \(A=x^3\left(z-y^2\right)+y^3\left(x-z^2\right)+z^3\left(y-x^2\right)+xyz\left(xyz-1\right)\)
\(=>A=x^3z-x^3y^2+y^3x-y^3z^2+z^3y-z^3x^2+x^2y^2z^2-xyz\)
\(=>A=\left(x^3z-xyz\right)+\left(x^2y^2z^2-x^3y^2\right)-\left(y^3z^2-y^3x\right)-\left(z^3x^2-z^3y\right)\)
\(=>A=x^2y^2\left(z^2-x\right)+xz\left(x^2-y\right)-y^3\left(z^2-x\right)-z^3\left(x^2-y\right)\)(1)
Thay \(x^2-y=a , z^2-x=c\) Vào (1) ta có \(A=cx^2y^2+axz-cy^3-az^3\)
\(=>A=cy^2\left(x^2-y\right)-az\left(z^2-x\right)\)(2)
Thay \(x^2-y=a , z^2-x=c\) vào (2) ta có \(A=acy^2-acz=ac\left(y^2-z\right)\)(3)
Thay \(y^2-z=b\) vào ta có \(A=abc\)
Vậy giá trị của biểu thức A ko phụ thuộc vào biến x,y,z .
Câu hỏi của Yến Trần - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Trả lời :
Tham khảo link này : https://olm.vn/hoi-dap/detail/6401290031.html
- Hok tốt !
^_^
Ta có:
\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}\right)+\left(\frac{z^2}{c^2}-\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2.\frac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+y^2.\frac{a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+z^2.\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)
Vì a, b, c khác 0 nên dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=0\)
\(\Rightarrow M=x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}=0^{2016}+0^{2016}+0^{2016}=0\)
Ta có : \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(z+x\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(y+z\right)^2\\y^2=\left(z+x\right)^2\\z=\left(x+y\right)^2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=a\left(y+z\right)^2+b\left(z+x\right)^2+c\left(x+y\right)^2\)
\(=ay^2+az^2+bz^2+bx^2+cx^2+cy^2+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\)
\(=x^2\left(b+c\right)+y^2\left(c+a\right)+z^2\left(a+b\right)+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\left(1\right)\)
Từ \(a+b+c=0\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=-a\\c+a=-b\\a+b=-c\end{cases}}\)
Thay vào \(\left(1\right)\), ta được :
\(ax^2+by^2+cz^2=-ax^2-by^2-cz^2+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\)
Ta có : \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)\(\Rightarrow ayz+bzx+cxy=0\)
\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=-ax^2-by^2-cz^2\)
\(\Rightarrow2\left(ax^2+by^2+cz^2\right)=0\)
\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=0\left(đpcm\right)\)
5) a) Ta có: \(a< b+c\)
\(\Rightarrow a^2< ab+ac\)
Tương tự: \(b^2< ba+bc\)
\(c^2< ca+cb\)
Cộng từng vế các BĐT vừa chứng minh, ta được đpcm
b) Ta có: \(\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\)
\(\left(c+a-b\right)\left(c+b-a\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\)
\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\)
Nhân từng vế các BĐT trên, ta được
\(\left[\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)
Các biểu thức trong ngoặc vuông đều dương nên ta suy ra đpcm
Bài 5:
a)
Ta có \(a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)>0\)
Điều này hiển nhiên đúng vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên
\(b+c-a,a+b-c,c+a-b>0\)
b) Áp dụng BĐT Am-Gm:
\((a+b-c)(b+c-a)\leq \left ( \frac{a+b-c+b+c-a}{2} \right )^2=b^2\)
\((a+b-c)(c+a-b)\leq \left (\frac{a+b-c+c+a-b}{2}\right)^2=a^2\)
\((b+c-a)(a+c-b)\leq \left ( \frac{b+c-a+a+c-b}{2} \right )^2=c^2\)
Nhân theo vế :
\(\Rightarrow [(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2\leq a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc\)
Do đó ta có đpcm
c)
\(a^3+b^3+c^3+2abc< a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\)
\(\Leftrightarrow a(ab+ac-a^2-bc)+b(ab+bc-b^2-ac)+c(ca+cb-c^2)>0\)
\(\Leftrightarrow a(a-c)(b-a)+b(b-c)(a-b)+c^2(a+b-c)>0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(b-a)(b+a-c)+c^2(b+a-c)>0\)
\(\Leftrightarrow (b+a-c)[c^2-(a-b)^2]>0\)
Điều này hiển nhiên đúng vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác thì \(b+a>c, c>|a-b|\)
Do đó ta có đpcm.
Vì x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c nên suy ra x = ka, y = kb, z = kc
Thay x = ka, y = kb, z = kc vào ( x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 ) ( a 2 + 2 b 2 + 3 c 2 ) ta được
[ ( k a ) 2 + 2 ( k b ) 2 + 3 ( k c ) 2 ] ( a 2 + 2 b 2 + 3 c 2 ) = ( k 2 a 2 + 2 k 2 b 2 + 3 k 2 c 2 ) ( a 2 + 2 b 2 + 3 c 2 ) = k 2 ( a 2 + 2 b 2 + 3 c 2 ) ( a 2 + 2 b 2 + 3 c 2 ) = k 2 ( a 2 + 2 b 2 + 3 c 2 ) 2 = [ k ( a 2 + 2 b 2 + 3 c 2 ) ] 2 = ( k a 2 + 2 k b 2 + 3 k c 2 ) 2 = ( k a . a + 2 k b . b + 3 k c . c ) 2 = ( x a + 2 y b + 3 z c ) 2
do x = ka,y = kb, z = kc
Vậy
( x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 ) ( a 2 + 2 b 2 + 3 c 2 ) = ( a x + 2 b y + 3 c z ) 2
Đáp án cần chọn là: D