Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài này ko khác gì câu 921427 nhé bạn, có điều bạn tìm cách tách a + 3b + 2c = (a + b) + (b + c) + (b + c)
Thêm nữa, áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) với a, b, c > 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
EZ!!!Sau khi sử dụng 1 số bđt đơn giản, ta sẽ được:
\(\text{Σ}_{cyc}\frac{ab}{a+3b+2c}\le\frac{1}{9}\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)=K\)
\(P\le K=\frac{1}{9}\left[\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\frac{a+b+c}{2}\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left(b+a+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{6}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2
Hi vọng là tìm GTLN:
Không mất tính tổng quát, giả sử b, c cùng phía với 1 \(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc\ge b+c-1\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+2bc+abc\Leftrightarrow2bc+abc\le4-a^2\Leftrightarrow bc\left(a+2\right)\le\left(2-a\right)\left(a+2\right)\Leftrightarrow bc+a\le2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le3\).
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
\(P\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)+\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)+\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{1}{9}.3\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\le1\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Ta có: \(\sqrt{2a+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{a+b+a+c}{2}\)
C/m tương tự \(\sqrt{2b+ac}\le\frac{b+a+b+c}{2}\)
\(\sqrt{2c+ab}\le\frac{c+a+c+b}{2}\)
\(\Rightarrow Q\le\frac{a+b+a+c+b+a+b+c+c+a+c+b}{2}=\frac{4\left(a+b+c\right)}{2}=4\)
Dấu "=" khi a = b = c = 2/3
\(A=\frac{b\left(a+c\right)+ac\left(1-b\right)}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\)
\(=\frac{b\left(1-b\right)+ac\left(1-b\right)}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\)
\(=\frac{\left(1-b\right)\left(ac+1-a-c\right)}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\)
\(=\frac{\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1-a\right)}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{\left[3-\left(a+b+c\right)\right]^3}{27\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\)
\(=\frac{8}{27}.\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{2}{27}.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
Do \(0\le a;b;c\le1\Rightarrow ab\ge abc\Rightarrow\frac{ab+bc+ca-abc}{a+2b+c}\ge\frac{bc+ca}{a+2b+c}\ge0\)
\(P_{min}=0\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
Tìm max:
\(P=\frac{ab+bc+ca-abc}{a+2b+c}=\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc}{a+2b+c}=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{a+2b+c}\)
\(P\le\frac{1}{4}.\frac{\left(a+2b+c\right)^2\left(c+a\right)}{\left(a+2b+c\right)}=\frac{\left(a+2b+c\right)\left(a+c\right)}{4}=\frac{\left(1+b\right)\left(1-b\right)}{4}\)
\(P\le\frac{1-b^2}{4}\le\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=c=\frac{1}{2}\\b=0\end{matrix}\right.\)