Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài làm:
Ta có: \(a+b^2+c^3=\left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b^2+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)+\left(c^3+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)-\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
\(\ge2.1+3.1+4.1-6=3\)
Dấu "=" <=> \(\hept{\begin{cases}a^2=1\\b^3=1\\c^4=1\end{cases}\Rightarrow a=b=c=1}\)
Học tốt!!!!
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Sai. Đề bản chất không cho a;b;c dương.
Biến đổi từ \(2\sqrt{\dfrac{a^2}{4}}=a\) ko đúng. \(2\sqrt{\dfrac{a^2}{4}}=2\left|\dfrac{a}{2}\right|\)
T thấy Akai Haruma nên để ý 1 số lỗi nhỏ như v :v
Cách khác :
Áp dụng BĐT : (x - y)2 ≥ 0 ∀x
⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
Ta có : a2 + b2 ≥ 2ab
b2 + c2 ≥ 2bc
c2 + a2 ≥ 2ac
⇒ 2( a2 + b2 + c2) ≥ 2( ab + bc + ac)
⇒3( a2 + b2 + c2 ) ≥ ( a + b + c)2
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}\)