Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta cần chứng minh BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) với x,y>0( cái này biến đổi tương đương sẽ ra)
Áp dụng ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+2}=\frac{4}{3}\left(ĐPCM\right)\)
^_^
Ta sẽ chứng minh bầng biến đổi tương đương :
a ) \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Vậy bđt được chứng minh.
b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh.
Bạn cần thêm điều kiện a,b>0 cho cả a) nữa nhé :)
a/ ta có :\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) ( ĐPCM)
\(C=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+ab+\frac{16}{ab}+\frac{17}{2ab}\)
\(C\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{ab.\frac{16}{ab}}+\frac{17}{\frac{2\left(a+b\right)^2}{4}}\)
\(C\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+8+\frac{34}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{4^2}+8+\frac{34}{4^2}=\frac{83}{8}\)
Dấu "=" khi \(a=b=2\)
theo bất đẳng thức côsi ta có :
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\) (vì xy(x+y) >0 với x,y > 0)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( Đúng)
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Lời giải:
Xét hiệu:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq 0, \forall a,b>0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$