Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(A\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3+x^2y+xy^2+y^3+y^2z+yz^2+z^3+z^2x+x^2z}\)
\(=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(x^2+y^2+z^2\right)+y\left(x^2+y^2+z^2\right)+z\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}\ge\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{3}=\dfrac{2012}{3}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2012}{3}\)
2)
Áp dụng bđt AM-GM:
\(\dfrac{x^3}{x^2+y^2}=x-\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\dfrac{xy^2}{2xy}=x-\dfrac{y}{2}\)
Chứng minh tương tự và cộng theo vế:
\(S\ge x-\dfrac{y}{2}+y-\dfrac{z}{2}+z-\dfrac{x}{2}=\dfrac{2015}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2015}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia dạng phân thức cho 3 số ta có:
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{matrix}\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{z+x}=\dfrac{z}{x+y}\\x,y,z>0;x+y+z=2\end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Áp dụng BĐT Svac-xơ cho 3 số dương có :
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\left(x+y+z\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Vậy Min biểu thức cho là 1 khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{1}{4}\left(y+z\right)\ge2.\sqrt{\dfrac{x^2}{y+z}.\dfrac{1}{4}\left(y+z\right)}=x\)
Tung tu : \(\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{1}{4}\left(x+z\right)\ge y\)
\(\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)\ge z\)
=> P+\(\dfrac{1}{4}\left(y+z\right)+\dfrac{1}{4}\left(x+z\right)+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)\ge x+y+z\)
=> P+\(\dfrac{1}{4}\left(2x+2y+2z\right)\ge4\)
=> P+2≥4
=> P≥2
Dau = khi: x=y=z=\(\dfrac{4}{3}\)
Vậy Min P=2 khi x=y=z=\(\dfrac{4}{3}\)
đề có vấn đề không vậy? P = 4 ?