Question

[Thầy Cao Đô]

Câu 6. (3,0 điểm) Từ một điểm ${{A}}$ nằm ngoài đường tròn ${{(O ; R)}}$, kẻ hai tiếp tuyến ${{AB, A C}}$ với $(O;R)\,\,\,(B$ và ${{C}}$ là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh bốn điểm $A, \, B, \, O, \, C$ cùng thuộc một đường tròn và $A O \perp B C$ tại ${{H}}$.

b) Vẽ đường kính ${{B D}}$. Đường thẳng qua ${{O}}$ và vuông góc với ${{A D}}$ cắt tia ${{B C}}$ tại ${{E}}$. Chứng minh $D C$ // $O A$ và ${{C D \cdot C O=A B \cdot C E}}$.

c) Chứng minh ${{D E}}$ là tiếp tuyến của đường tròn ${{(O ; R)}}$.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>CB⊥CD
mà OA⊥BC

nên OA//CD

Ta có: \(\hat{CDE}=\hat{CBD}\left(=90^0-\hat{CED}\right)\)

\(\hat{CBD}=\hat{OCB}\) (ΔOBC cân tại O)

Do đó: \(\hat{CDE}=\hat{OCH}\)

mà \(\hat{OCH}=\hat{OAC}\left(=90^0-\hat{COA}\right)\)

nên \(\hat{CDE}=\hat{OAC}\)

Xét ΔCDE vuông tại C và ΔCAO vuông tại C có

\(\hat{CDE}=\hat{CAO}\)

Do đó: ΔCDE~ΔCAO

=>\(\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CO}\)

=>\(CD\cdot CO=CE\cdot CA=CE\cdot AB\)

c: Gọi K là giao điểm của OE và DA

=>OE⊥DA tại K

Xét ΔOKA vuông tại K và ΔOHE vuông tại H có

\(\hat{KOA}\) chung

DO đó: ΔOKA~ΔOHE

=>\(\frac{OK}{OH}=\frac{OA}{OE}\)

=>\(OK\cdot OE=OH\cdot OA\) (3)

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2=OD^2\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(OK\cdot OE=OD^2\)

=>\(\frac{OK}{OD}=\frac{OD}{OE}\)

Xét ΔOKD và ΔODE có

\(\frac{OK}{OD}=\frac{OD}{OE}\)

góc KOD chung

Do đó: ΔOKD~ΔODE

=>\(\hat{OKD}=\hat{ODE}\)

=>\(\hat{ODE}=90^0\)

=>DE⊥ OD ại D

=>DE là tiếp tuyến của (O)